4.6. Вычисление площади поверхностей тел вращения
Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой АВ вокруг оси ОХ, равна
где
дифференциал дуги кривой.
В зависимости от задания кривой явное, в параметрическом виде или в полярных координатах указанную формулу можно расписать так
.
(4.16)
.
(4.17)
.
(4.18)
Пример 52.
Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси ОХ дуги кривой
,
.
Решение.
или
Воспользуемся формулой (4.16)
С помощью определенного интеграла можно вычислить и многие другие геометрические и физические характеристики фигур: статические моменты и моменты инерции плоских фигур, координаты центра тяжести дуг кривых и плоских фигур, работу, давление и пр. Подробнее об этом см. [2], Гл.XII, [2] §§6,7,8,9.
Список рекомендуемой литературы
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1980. 464.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. ТТ.1- 2, М.: Интеграл-Пресс, 2001,2002. - 416с., 544с.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ЧЧ. 1-2. - М.: Высшая школа, 1980-2000. - 304с., 416с.
Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высшая школа, 1966. - 460с.