Экономическая интерпретация и свойства двойственных оценок

Дадим задачам (2.1)-(2.3) и (2.4)-(2.6) конкретный экономический смысл. Прямая задача. Пусть в производстве nвидов продукции используетсяmвидов ресурсов. Известны величинынормы расхода каждого вида ресурса на производство единицы каждого вида продукции;-запасыресурсов;- цена реализации единицы продукции– го вида;.

Тогда решение исходной задачи заключается в нахождении – плана производства каждого вида продукции, при котором расходы ресурсов не превышали бы имеющихся запасов (), а общий доход () от реализации произведенной продукции был бы максимальным.

Двойственная задача. Найти – оценки единицы каждого вида ресурсов, минимизирующих суммарную оценку ресурсов, при условии, что оценка ресурсов, необходимых для производства единицы каждого вида продукции, была бы не меньше цены соответствующей продукции.

В такой постановке исходной и двойственной задач экономический смысл и свойства двойственных оценок будут следующими.

Свойство 1. Оценка как мера влияния ограничения на оптимальное значение целевой функции. Согласно этому свойству оценка единицы

– го ресурса в оптимальном плане () показывает, насколько изменится оптимальное значение целевой функции, если– й ресурс изменить на единицу.

Если же объем – го ресурса изменить наkединиц, то целевая функция изменится на величинупри условии, что это изменение не выйдет за границы устойчивости двойственных оценок.

Свойство 2. Оценка как мера дефицитности ресурса. Это свойство следует из теоремы 2. Если , то из (2.9) следует, что, т.е.– й ресурс не полностью расходуется в оптимальном плане и его оценка равна нулю. В соответствии с 1-м свойством, увеличение объема этого ресурса не приведет к увеличению объема выпускаемой продукции. Если, то из (2.8) имеем, т.е.–й ресурс в оптимальном плане расходуется полностью и его оценка положительна. Такой ресурс будем называть дефицитным (лимитирующим). Величина, на которую увеличивается значение целевой функции при увеличении количества лимитирующего ресурса на единицу, называется оценкой ресурса или его теневой ценой.

Свойство 3. Оценка как мера эффективности выпускаемой продукции. Это свойства также следует из теоремы 2. Пусть 0 . Это означает, что продукция– го вида производится оптимальном плане. Из (2.11) имеем, т.е. оценка ресурсов на производство единицы–й продукции равна стоимости единицы этой продукции. Такую продукцию будем считать рентабельной. Если, то из (2.10) следует, что, т.е. продукция– го вида в оптимальном плане не производится, потому что аналогичная оценка ресурсов превышает цену единицы этой продукции. Такую продукцию будем считать нерентабельной.

Свойства 4. Оценка как средство балансировки затрат и результатов в оптимальном плане. Это свойство следует из условия (2.7) теоремы 1:

.

Левая часть этого равенства означает стоимость произведенной продукции, т.е. результат производства, а правая - оценку ресурсов, т.е. затраты экономической системы. В оптимальном плане результаты производства балансируются затратами системы на это производство.

В случае неоптимальности плана по известной теореме линейного программирования , т.е. для произвольного плана задачи результататы не больше затрат на производство.

Решив задачу (2.1)-(2.3), определим план выпуска продукции и остатки недефицитных ресурсовкак разницу между запасами ресурсов и их расходом после производства продукции:;

Оптимальное решение этой задачи можно исследовать с точки зрения ее входных параметров (цен на продукцию, запасов ресурсов) по свойствам двойственных оценок. Получив оценки ресурсов, можно проанализировать производственную ситуацию с точки зрения:

1. влияния изменения объемов каждого вида ресурсов на значение целевой функции (на доход от реализации произведенной продукции);

2. дефицитности (лимитированности) ресурсов каждого вида.

3. эффективности выпуска j-го вида продукции с точки зрения определения превышения оценок ресурсов на производство единицыj–го вида продукции над ее ценой из (2.4)

= c_j-.

4. соизмерения суммарного эффекта zот выпуска продукции и оценки суммарных затратwна производство.

Математическая модель (2.1)-(2.3) является простейшей моделью задачи оптимального выпуска продукции. В ней не предусматривается ассортиментный выпуск продукции и реализация излишков ресурсов.

Рассмотрим постановки этих задач.

Предположим, что по некоторым видам продукции задан обязательный минимум их выпуска . Тогда к модели задачи (2.1)-(2.3) добавятся ограничения по производственной программе:

.(2.12)

В этом случае математическая модель задачи с заданной производственной программой будет иметь вид

,

0

После выполнения производственной программы некоторые ресурсы оказываются в избытке, а некоторые используются полностью и лимитируют производство. В этом случае излишки ресурсов можно продать, а на полученную выручку приобрести дефицитные ресурсы, при этом увеличить целевую функцию, то есть получить дополнительный доход.

Пусть первоначальный объем k-го дефицитного ресурса былb_k , а цена его единицыp_k ;объем недефицитного ресурсаq-го вида,- цена его единицы. Остаток недефицитного ресурса составляет . Тогда в системе ограничений задачи (2.1)-(2.3) ограничение по недефицитному ресурсу изменится на

. (2.13)

Ограничение по покупке дефицитного ресурса будет иметь вид

.

Перенеся влево второе слагаемое, получим

. (2.14)

Окончательно математическая модель задачи с измененными ограничениями имеет вид

, ,

, ,

, ,