§14. Идеальный газ

Для описания свойств каких-либо объектов обычно пользуются модельными представлениями. Вид модели выбирается в зависимости от характера решаемой задачи. В частности, при исследовании свойств достаточно разреженных газов в молекулярной физике применяется модель так называемого идеального газа.

Идеальным газом называется газ, молекулы которого не взаимодействуют друг с другом на расстоянии и имеют исчезающе малые собственные размеры.

Кроме того, считается, что:

- молекулы идеального газа при взаимных столкновениях и ударах о стенки сосуда ведут себя как абсолютно упругие шарики;

- движение каждой молекулы идеального газа подчиняется законам механики, при этом между столкновениями каждая молекула движется равномерно и прямолинейно;

- связи между атомами в многоатомных молекулах идеального газа абсолютно жесткие (это положение нарушается при высоких температурах газа: атомы получают возможность совершать колебания друг относительно друга и связи между ними в этом случае следует считать упругими).

Опытным путем было показано, что поведение идеального газа подчиняется уравнению Клапейрона-Менделеева:

^, (14.1)

где - соответственно давление, объем, масса, молярная масса и температура газа;- универсальная газовая постоянная.

Многие газы при определенных условиях можно считать идеальными. Особенно близки по своим свойствам к идеальному газу гелий и водород.

§15. Основное уравнение молекулярно - кинетической теории

Основным уравнением молекулярно-кинетической теории принято называть уравнение, устанавливающее связь между давлением газа, объемом и средней кинетической энергией теплового движения его молекул. Давление газа в сосуде есть результат столкновений молекул газа со стенками сосуда. Ввиду хаотичности теплового движения молекул давление газа на стенки сосуда (независимо от его формы) одинаково и, по определению, представляет собой среднюю силу, действующую по направлению нормали к стенке на единицу площади ее поверхности.

15.1. Вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории

Для упрощения математических выкладок выведем основное уравнение для идеального газа, находящегося в сосуде кубической формы (рис. 15.1). Будем считать, что газ однороден (состоит из одинаковых молекул) и находится в состояния теплового равновесия.

V_j

Рис.15.1

Скорости теплового движения молекул газа, как показывает опыт, могут быть различными у разных молекул. Обозначим через искорость и массуj -ой молекулы (j = 1, 2,...,N -номер молекулы, N - общее число молекул в сосуде). Скорость молекулы можно представить в виде векторной суммы ее составляющих вдоль выбранных осей координат (см. рис.15.1):

. (15.1)

Рассчитаем давление газа на правую заштрихованную (рис.15.1) стенку сосуда.

Для описания движения молекул газа и их взаимодействия со стенкой сосуда воспользуемся законами Ньютона.

Силу , действующую на стенку в момент удара со стороны-ой молекулы, можно найти по третьему закону Ньютона, если предварительно найти силу, действующую на молекулу со стороны стенки:

. (15.2)

Силу определим с помощью второго закона Ньютона, в соответствии с которым изменение импульса молекулы численно равно импульсу действующей на нее силы:

, (15.3)

где - изменение импульса молекулы, - продолжительность удара молекулы о стенку.

Рис.15.2

При абсолютно упругом ударе молекулы о стенку изменяется лишь направление составляющей скорости на противоположное (рис. 15.2), поэтому полное изменение импульса молекулы при ударе (с учетом направлений составляющейдо и после удара)

. (15.4)

Подставим выражение (15.4) в (15.3)

или с учетом равенства (15.2)

. (15.5)

Из этого выражения можно было бы найти модуль силы, но неизвестна продолжительность удара . Поэтому заменим кратковременно действующую силу(характер ее изменения во времени показан на рис.15.3) "эквивалентной" ей постоянной силойтаким образом, чтобы импульс этой силы за время между двумя последовательными ударами равнялся бы импульсу силы , то есть

Рис.15.3

. (15.6)

Подставим выражение (15.6) в (15.5):

, (15.7)

отсюда:

(15.8)

Промежуток времени равен

, (15.9)

так как между двумя ударами об одну и ту же стенку молекула проходит вдоль оси X расстояние со скоростью (рис. 15.4).

Рис.15.4

Подставим (15.9) в (15.8) и спроектируем полученное векторное уравнение на ось х, тогда получим для средней силы удара одной молекулы выражение:

^. (15.10)

Средняя сила удара всехN молекул будет равна

^. (15.11)

Разделив (15.11) на площадь грани куба S=l², найдем давление газа

^. (15.12)

Аналогично для сторон куба в направлении осей Y и Z:

и ^.

Так как давление газа одинаково во всех направлениях, то

и

или

^. (15.13)

Учитывая, что (V - объем газа), и, выражая квадрат скорости молекул на основании формулы (15.1)

, (15.14)

получим из (15.13)

, (1.15)

или

, (15.16)

где - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул в объемеV.

Выражение (15.16) представляет собой основное уравнение молекулярно-кинетической теории для идеального газа. Из него следует, что произведение давления идеального газа на его объем равно двум третям суммарной кинетической энергии поступательного движения всех молекул в данном объеме.