- •Новочеркасский ордена Трудового Красного Знамени политехнический институт имени Серго Орджоникидзе
- •Тема 1. Основные понятия и законы теории цепей. Электрические и магнитные цепи.
- •1. Основные термины теории электрических цепей
- •2. Первый закон Кирхгофа
- •3. Второй закон Кирхгофа.
- •4. Основные элементы линейных электрических цепей.
- •5. Эквивалентные преобразования фрагментов электрических цепей.
- •6. Мощность двухполюсника
- •7. Полная система расчетных уравнений эл. Цепи.
- •8. Метод узловых потенциалов
- •9. Магнитные цепи.
- •10. Основные характеристики переменных токов и напряжений.
- •Тема 2. Синусоидальные режимы электрических цепей
- •11. Комплексный метод расчета синусоидальных режимов эл. Цепей.
- •12. Резистор, катушка индуктивности и конденсатор в синусоидальном режиме.
- •13. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость.
- •14. Мощность двухполюсника в синусоидальном режиме
- •15. Последовательное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.
- •16. Смешанное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.
- •17. Трехфазный источник напряжения. Общая характеристика трехфазных цепей.
- •18. Соединение трехфазного источника напряжения и нагрузки звездой
- •19. Соединение трехфазного источника напряжения и нагрузки треугольником
- •Тема 3. Дополнительные главы
- •20. Переходные процессы
- •21. Взаимная индуктивность.
21. Взаимная индуктивность.
Рис. 21.1. Магнитные потоки катушек. Случай М > 0. |
Рис. 21.2. Маркировка катушек. Случай М > 0. |
Рис. 21.3. Маркировка катушек. Случай М < 0. |
Кроме того, напряжения на катушках создаются вследствие изменения своих собственных токов, поэтому
,.
Знак Мзависит от взаимного расположения катушек, а также от выбора направлений стрелок тока и напряжений. Стрелки напряжений, как правило, направляют согласно стрелкам тока (рис.21.1), и часто вообще не показывают на схеме в явном виде.
Если магнитные поля, создаваемые положительными токами катушек, в области самих катушек складываются, то М > 0 (рис.21.1, 21.2), а если вычитаются, тоM < 0 (рис.21.3).
На схемах эл. цепей взаимное расположение катушек показывается с помощью маркировки. "Начала" обмоток отмечаются точками. Если стрелки токов обеих катушек направлены от "начал" к "концам" или от "концов" к "началам", то M> 0 (рис.21.2). Если у одной катушки стрелка тока направлена от "начала" к "концу", а у другой наоборот, тоM < 0 (рис.21.3).
Если сразу несколько катушек имеют магнитную связь, то их начала маркируются отдельно для каждой пары.
Если магнитный поток первой катушки полностью проходит через вторую (соответственно, поток второй катушки полностью проходит через первую), то - это так называемый "идеальный трансформатор". ЗначениеМне может быть больше. Реально оно всегда меньше указанного значения из-за того, что магнитные потоки катушек никогда в точности не могут совпадать. Последнюю формулу легко доказать с помощью теории магнитных цепей.
Приложение.
Комплексные числа.
Введение.
Комплексные числа имеют три формы записи. Алгебраическая формапредставляет число в виде; здесьaиb– действительные числа,i– число иного рода, называемоемнимой единицей. Основное свойство числаiсостоит в том, что его квадрат равен минус единице:. Числа видаявляются действительными. Числа виданазываются мнимыми.
Обозначим число буквойz . Числоaназываетсядействительной частьючислаz, числоb–мнимой частьючислаz . Коротко это можно записать так:,, где Re и Im – принятые в математике обозначения действительной и мнимой части комплексного числа.
Рис. 1. Комплексная плоскость и ее оси.
Комплексное число чаще изображают не точкой, а вектором, начало которого совпадает с началом координат комплексной плоскости, а конец имеет декартовы координаты . Если такой вектор перенести параллельно самому себе, он также будет изображать то же самое число.
Точку на плоскости можно рассматривать и в полярных координатах , где– расстояние от точки до начала координат,– угол между отрезком, соединяющим точку с началом координат, и осью абсцисс (рис. 1).
Число называетсямодулемчислаz , числоназываетсяаргументом(илифазой) числаz . Коротко это обозначается так:,.
Из рис. 1 видно, что
,, (1)
поэтому комплексное число zможно представить в виде
Такая форма представления комплексного числа называется тригонометрической.
Отметим, что . (2)
Формулы (1) определяют переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической, формулы (2) – от алгебраической к тригонометрической. При этом лежит в пределах от –дои вычисляется с учетом знаковaиb :
Для числа аргумент не определен.
Формула Эйлера позволяет ввестипоказательную форму комплексного числа:. Модульи фазаимеют тот же смысл, что и для тригонометрической формы комплексного числа.
Формулу Эйлера можно понимать как определение экспоненты с мнимым показателем:– это такое комплексное число, действительная часть которого равна, а мнимая равна. Более корректно функцияопределяется как сумма ряда
.
Учитывая, что и сгруппировав отдельно действительные и мнимые слагаемые этого ряда, получим ряды для косинуса и синуса, что и доказывает формулу Эйлера (строго говоря, такая перегруппировка слагаемых нуждается в обосновании, но мы законность этого действия примем без доказательства):
Для экспоненты с мнимым показателем, так же как и для экспоненты с действительным показателем, справедливо свойство: произведение двух экспонент равно экспоненте, показатель которой равен сумме показателей сомножителей:
.
Сложение комплексных чисел
Рис. 2. Сложение комплексных чисел на
плоскости.
То есть, действительная часть суммы – это сумма действительных частей слагаемых, а мнимая часть суммы – это сумма мнимых частей слагаемых.
Например, если , то.
На комплексной плоскости сложению комплексных чисел соответствует сложение векторов (рис. 2).
Сложение чисел в показательной и тригонометрической форме неудобно. Чтобы сделать это, нужно сначала перевести оба числа в алгебраическую форму, сложить их, а затем перевести результат в нужную форму.
Например,
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел в алгебраической форме выполняется по тем же правилам, что и умножение действительных чисел. Единственное различие в том, что :
.
Например, .
Умножение комплексных чисел в показательной форме выполняется еще проще. Пусть , тогда
,
то есть, при умножении комплексных чисел модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.
Например, ;.
С помощью формулы Эйлера из правила умножения комплексных чисел в показательной форме может быть получено правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме. Оно такое же, как для чисел в показательной форме.
Замечание 1: Мнимая единица может записываться как перед действительным множителем, так и после него:и т.д. Эти выражения равны вследствие того что произведение любых двух комплексных чисел коммутативно, т.е не зависит от порядка сомножителей.
Замечание 2: Аргументы комплексных чисел могут выражаться как в радианах (то есть просто в числах), так и в градусах. Запись аргументов комплексных чисел в радианах, как правило, применяется в математике и физике; запись в градусах – в технических науках и инженерных расчетах.
Умножению комплексного числа zна числосоответствует растяжение вектора, изображающего числоz, враз и поворот его на угол. Это следует из описанных выше правил умножения.
Деление комплексных чисел
Проще всего делить числа в показательной и тригонометрической форме. При этом модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Это правило прямо следует из правил умножения.
Пусть ,, тогда.
Например, .
Чтобы разделить комплексное число в алгебраической форме на действительное число, нужно разделить отдельно действительную и мнимую часть. Пусть , тогда. Например:.
Деление комплексного числа в алгебраической форме на комплексное число в алгебраической форме сводят к делению комплексного числа на действительное. Это делают путем умножения числителя и знаменателя на число, комплексно сопряженное знаменателю.
Рис. 3. сопряженные комплексные числа.
.
Итак, разделим два числа в алгебраической форме. Пусть
,.
Тогда .
Например, .