§10. Разветвленные электрические цепи. Правила Кирхгофа

Расчет сложных (разветвленных) цепей постоянного тока заключается в отыскании по заданным сопротивлениям участков цепи и приложенных к ним Э.Д.С. сил токов в каждом участке. Для решения этой задачи применяются правила Г.Р. Кирхгофа (1847 г.).

Любая разветвленная цепь состоит из совокупности однородных и неоднородных участков цепи, электрическое соединение которых происходит в узлах. Узлом в разветвленной цепи называется точка, в которой имеется более двух возможных направлений тока (рис. 10.1). В узле сходится более двух проводников.

Р

I₃

I₂

I₁, I₂, I₃

ассмотрим узелA{I₁,I₂,I₃} (рис. 10.1) для трех токов. Условие стационарности токов (6.9) в узле А позволяют записать уравнение непрерывности в интегральной форме.

I₁

или (10.1)

где ток берется со знаком плюс, если вытекает из узла, и со знаком минус, если приходит к узлу (правило знаков).

Обобщая результат 10.1 на произвольный узел, сформулируем 1-е правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле разветвленной цепи постоянного тока равна 0:

(10.2)

Узлы, образованные одними и теми же токами, называются эквивалентными.

II-е правило Кирхгофа.

Р

I₁

I₂

I₃

I₄

ассмотрим выделенный произвольный замкнутый контур некоторой разветвленной цепи (рис. 10.2), состоящей из 4-х участков между четырьмя узлами разветвленной цепи. Для каждого участка применим закон Ома для неоднородного участка цепи (9.5)

₄ - ₁ +₁ = I₁(R₁ + r₁)

₁ - ₂ + ₂= I₂(R₂ + r₂)

₂ - ₃ + ₃= I₃(R₃ + r₃)

₃ - ₄ + ₄= I₄(R₄ + r₄)

Складывая эти равенства, получим

₁ + ₂ + ₃ + ₄ = I₁(R₁ + r₁) + I₂(R₂ + r₂) + I₃(R₃ + r₃) + I₄(R₄ + r₄).

В общем случае при произвольном количестве замкнутых контуров разветвленной цепи второе правило Кирхгофа позволяет получить систему линейных уравнений:

(10.3)

где r_j, _j – внутреннее сопротивление и э.д.с., включенная в j - участок контура,

I_j – ток на j - участке контура, R_j – сопротивление j - участка контура.

При составлении уравнений на основе второго правила Кирхгофа необходимо поступать следующим образом:

1. Произвольно выбрать направление токов во всех участках разветвленной цепи, обозначив их стрелками. Если вычисление покажет, что ток положителен, то его направление совпадает с истинным. Если отрицателен, то истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрав произвольный замкнутый контур разветвленной цепи, все его участки следует обойти в одном направлении. Если это направление совпадает с выбранным направлением тока, то падение напряжения I_j R_j и I_j r_j берется со знаком плюс. Если же эти направления противоположны, то оно берется со знаком минус. Если при обходе контура источник тока проходится от отрицательного полюса к положительному, то его э.д.с. следует считать положительной; в противоположном случае отрицательной.

Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на 1 меньше числа узлов. Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, должно быть на 1 меньше числа замкнутых контуров.

§11. Электрический ток в газах

В нормальном состоянии газы, в том числе и пары металлов, не проводят электрический ток, так как состоят из электрически нейтральных атомов. Проводящим электрический ток может быть только ионизированный газ, то есть газ, содержащий не только нейтральные атомы или молекулы, но и положительные и отрицательные ионы и электроны. Ионизация газа может возникать под действием высоких температур, рентгеновских и ультрафиолетовых лучей, излучений радиоактивных элементов, космических лучей, в результате столкновений атомов газа с электронами и другими быстрыми частицами и т.д. Во всех этих случаях происходит вырывание из электронной оболочки атома или молекулы газа одного или нескольких электронов и в газе возникают свободные носители заряда: электроны и положительно заряженные ионы. Внешнее электрическое поле в ионизированном газе вызывает дрейфовый ток свободных носителей заряда электронов и ионов. Прохождение электрического тока через ионизированную газовую среду сопровождается изменением состояния газа. Многообразие условий, определяющих исходное состояние газа (состав, давление и т.д.), внешних воздействий на газ, материалов, форм и расположения электродов, конфигураций возникающего в газе электрического поля и т.п. приводит к тому, что существует множество видов электрического разряда (тока) в газах. Законы электрического разряда в газах значительно сложнее, чем законы электрического тока в металлах и электролитах. Электрический разряд в газах лишь при очень малой разности потенциалов, приложенной извне, подчиняется закону Ома. Как правило, вольт-амперная характеристика газового разряда имеет ярко выраженный нелинейный характер.

Ионизация газа, возникающая в результате вырывания электронов из молекул и атомов самого газа, называется объемной ионизацией. Помимо объемной ионизации существует поверхностная ионизация. При такой ионизации ионы или электроны поступают в газ со стенок сосуда, в котором он заключен, или с поверхности тел, вносимых в газ. Например, источниками электронов могут быть раскаленные тела (термоэлектронная эмиссия).

Наряду с ионизацией в ионизированном газе имеет место соединение положительных и отрицательных ионов или электронов между собой с образованием нейтральных молекул и атомов. Этот процесс называется рекомбинацией. В результате рекомбинации проводимость газов постепенно падает.

Рассмотрим динамику процесса ионизации и рекомбинации в ионизированном газе. Предполагая отсутствие дрейфа и диффузии носителей зарядов в газе, единственными процессами будут ионизация и рекомбинация. Допустим, что источник создает в единицу времени в единице объема газа q пар ионов разных знаков. Обозначим через n число пар ионов разных знаков в единице объема газа. Число рекомбинирующих ионов пропорционально n² и может быть записано в виде n², где  - постоянная, называемая коэффициентом рекомбинации ионов разных знаков. Введенные допущения позволяют записать уравнение баланса ионов в газе в виде

(11.1)

В стационарном состоянии dn/dt=0, следовательно,

(11.2)

При выключенном ионизаторе генерация ионов прекращается q=0

Преобразуем полученное соотношение и проинтегрируем от t = 0 до некоторого текущего значения t, которому соответствует концентрация положительных и отрицательных пар ионов n(t):

После интегрирования получим

(11.3)

где n₀ - концентрация пар положительных и отрицательных ионов при t=0. Время, за которое концентрация убывает в 2 раза, равно

(11.4)

При включении ионизатора в момент времени t=0 концентрация пар ионов равна 0. Учитывая это и тот факт, что q -n²>0, интегрирование уравнения 11.1 дает следующий результат:

(11.5)

Процесс ионизации требует затрат энергии. Минимальное значение такой энергии называется энергией ионизации атома или молекулы. В пределах отдельных периодов системы элементов Менделеева наибольшим потенциалом обладают атомы инертных газов, наименьшим – атомы щелочных металлов. Так, ионизационный потенциал атома гелия равен 24,58 В, неона 21,56 В, лития 5,39 В, натрия 5,13 В. Ионизационный потенциал, как правило, уменьшается с увеличением атомного номера элемента.

При рекомбинации положительного и отрицательного ионов потенциальная энергия уменьшается. Частично она идет на излучение электромагнитных волн, которое называется рекомбинационным излучением.