Механика.Методика решения задач
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ȽɅȺȼȺ 8. ɋɜɨɛɨɞɧɵɟ ɢ ɜɵɧɭɠɞɟɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ |
311 |
P |
1 |
F a( p) p sin M( p) . |
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(8.172) |
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2 |
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ɫɪ |
0 |
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ɇɚɣɞɟɦ sin M( p) , ɜɯɨɞɹɳɢɣ ɜ ɮɨɪɦɭɥɭ (8.172), |
ɜɨɫɩɨɥɶɡɨ- |
|||||||||
ɜɚɜɲɢɫɶ (8.170): |
tgM( p) |
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2Gp |
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sin M( p) |
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. |
(8.173) |
||||||
|
tg2M( p) |
Z02 p2 2 |
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1 |
4G 2 p2 |
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||||||
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ (8.173) ɢ (8.169) ɜ (8.172), ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɫɪɟɞɧɟɣ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ ɨɬ ɱɚɫɬɨɬɵ:
Pɫɪ |
( p) |
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F |
2Gp2 |
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0 |
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. |
(8.174) |
||||||
§ |
2 |
p |
2 |
2 |
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4G |
2 |
p |
2 |
· |
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m¨ Z0 |
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¸ |
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|||||||
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© |
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¹ |
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ɑɚɫɬɨɬɭ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ |
|
pmax , ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɟɟ ɫɪɟɞɧɹɹ |
||||||||||||||||
ɦɨɳɧɨɫɬɶ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ, ɧɚɯɨɞɢɦ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ |
dPɫɪ ( p) |
0 : |
||||||||||||||||
dp |
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pmax Z0 . |
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pmax |
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(8.175) |
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Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɱɚɫɬɨɬɚ |
ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬ- |
|||||||||||||||||
ɜɭɸɳɟɣ ɪɟɡɨɧɚɧɫɭ ɫɤɨɪɨɫɬɢ (ɫɦ. ɩ. 8.1.3). |
|
|
||||||||||||||||
ɉɨɞɫɬɚɧɨɜɤɚ (8.175) ɜ (8.174) ɞɚɟɬ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ ɦɚɤɫɢ- |
||||||||||||||||||
ɦɚɥɶɧɨɣ ɫɪɟɞɧɟɣ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ: |
|
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||||||||||||||||
Pmax { P ( p |
|
) |
|
F 2 |
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||||||
max |
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0 |
. |
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(8.176) |
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ɫɪ |
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ɫɪ |
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4mG |
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ȼɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ ɫɪɟɞɧɟɣ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ ɩɪɢ ɱɚɫɬɨɬɟ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɪɟɡɨɧɚɧɫɭ ɫɦɟɳɟɧɢɹ, ɧɚɯɨɞɢɦ ɩɨɞɫɬɚɜ-
ɥɹɹ (8.171) ɜ (8.174):
Pɪɟɡ { P ( p |
ɪɟɡ |
) |
F02 Z02 2G 2 |
. |
(8.177) |
||
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|||||||
ɫɪ |
ɫɪ |
|
4mG Z02 |
G 2 |
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||
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ɂɫɤɨɦɨɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɫɪɟɞɧɟɣ ɡɚ ɩɟɪɢɨɞ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɜɵɧɭɠɞɚɸɳɟɣ ɫɢɥɵ F(t) ɩɪɢ ɱɚɫɬɨɬɟ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɪɟɡɨɧɚɧɫɭ ɫɦɟɳɟɧɢɹ, ɤ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɣ ɫɪɟɞɧɟɣ ɦɨɳɧɨɫɬɢ ɷɬɨɣ ɫɢɥɵ ɧɚɯɨɞɢɦ, ɜɨɫ-
ɩɨɥɶɡɨɜɚɜɲɢɫɶ (8.176) ɢ (8.177):
Pɫɪɪɟɡ |
|
Z02 2G 2 |
|
||
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. |
(8.178) |
Pmax |
Z2 |
G 2 |
|||
ɫɪ |
0 |
|
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312 ɆȿɏȺɇɂɄȺ. ɆȿɌɈȾɂɄȺ Ɋȿɒȿɇɂə ɁȺȾȺɑ
Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɦɨɳɧɨɫɬɟɣ ɫɩɪɚɜɟɞ-
ɥɢɜɨ ɩɪɢ G Z20 . ɉɪɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚ ɡɚɬɭɯɚɧɢɹ G t Z20
ɜ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɪɟɡɨɧɚɧɫ ɫɦɟɳɟɧɢɹ ɧɟ ɧɚɛɥɸɞɚɟɬɫɹ (ɚ ɪɟɡɨɧɚɧɫ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ).
Ɂɚɞɚɱɚ 8.10
(ɋɜɨɛɨɞɧɵɟ ɧɟɡɚɬɭɯɚɸɳɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫ ɞɜɭɦɹ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ)
Ⱦɜɚ ɦɚɥɟɧɶɤɢɯ ɲɚɪɢɤɚ ɦɚɫɫɨɣ m ɩɨɞɜɟɲɟɧɵ ɤ ɩɨɬɨɥɤɭ ɧɚ
ɧɟɜɟɫɨɦɵɯ ɫɬɟɪɠɧɹɯ ɞɥɢɧɨɣ l , ɨɛɪɚɡɭɹ ɞɜɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɦɚɹɬ- |
|||||||
ɧɢɤɚ. ɗɬɢ ɦɚɹɬɧɢɤɢ ɫɜɹɡɚɧɵ ɦɟɠɞɭ ɫɨ- |
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ɛɨɣ ɥɟɝɤɨɣ ɩɪɭɠɢɧɨɣ ɠɟɫɬɤɨɫɬɶɸ k |
D1 |
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(ɫɦ. ɪɢɫ. 8.31). ȼ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ |
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|||
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ɩɪɭɠɢɧɚ ɧɟ ɪɚɫɬɹɧɭɬɚ, ɚ ɬɨɱɤɢ ɟɟ ɤɪɟɩ- |
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ɥɟɧɢɹ ɤ ɫɬɟɪɠɧɹɦ ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɧɚ ɪɚɫ- |
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ɫɬɨɹɧɢɢ a ɨɬ ɬɨɱɟɤ ɲɚɪɧɢɪɧɨɝɨ ɩɨɞɜɟ- |
F1 |
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F2 |
||
ɫɚ ɫɬɟɪɠɧɟɣ ɤ ɩɨɬɨɥɤɭ. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɡɚ- |
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|
ɤɨɧɵ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɭɝɥɨɜ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɦɚ- |
mg |
|
|
mg |
|||
ɹɬɧɢɤɨɜ ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ D1 (t) |
|
|
|||||
ɢ D2 (t) ɩɪɢ ɦɚɥɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹɯ ɜ ɬɪɟɯ |
Ɋɢɫ. 8.31 |
||||||
ɫɥɭɱɚɹɯ: |
|
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1) ɨɛɚ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɨɬɤɥɨɧɢɥɢ ɜ ɨɞɧɭ ɫɬɨɪɨɧɭ ɧɚ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɣ |
|||||||
ɭɝɨɥ D0 ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t |
0 ɢ ɨɬɩɭɫ- |
||||||
ɬɢɥɢ ɫ ɧɭɥɟɜɨɣ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ; |
|
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|
2) ɦɚɹɬɧɢɤɢ ɨɬɤɥɨɧɢɥɢ ɜ ɪɚɡɧɵɟ ɫɬɨɪɨɧɵ ɧɚ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɭɝ- |
|||||||
ɥɵ D0 ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t |
0 ɢ ɨɬɩɭɫɬɢ- |
||||||
ɥɢ ɫ ɧɭɥɟɜɨɣ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ;
3) ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t 0 ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɩɨɤɨɹɳɢɯɫɹ ɜ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɲɚɪɢɤɨɜ ɫɨɨɛɳɢɥɢ ɧɚɱɚɥɶɧɭɸ ɫɤɨɪɨɫɬɶ X0 , ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɭɸ ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ.
Ɋɟɲɟɧɢɟ
I. ɇɚ ɤɚɠɞɵɣ ɦɚɹɬɧɢɤ ɞɟɣɫɬɜɭɸɬ ɜ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɪɢ ɫɢɥɵ: ɫɢɥɚ ɬɹɠɟɫɬɢ mg , ɫɢɥɚ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɵ ɩɪɭɠɢɧɵ Fi
(i = 1, 2) ɢ ɫɢɥɚ ɪɟɚɤɰɢɢ ɩɨɬɨɥɤɚ, ɧɟ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɧɚɹ ɧɚ ɪɢɫ. 8.31. ɋɢɥɚɦɢ ɬɪɟɧɢɹ ɨ ɜɨɡɞɭɯ ɢ ɜ ɩɨɞɜɟɫɟ ɩɪɟɧɟɛɪɟɝɚɟɦ. ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ
ȽɅȺȼȺ 8. ɋɜɨɛɨɞɧɵɟ ɢ ɜɵɧɭɠɞɟɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ |
313 |
ɧɚɱɚɥɶɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ, ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɧɧɵɦɢ ɜ ɡɚɞɚɱɟ, ɦɚɹɬɧɢɤɢ ɤɨɥɟɛɥɸɬɫɹ ɜ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɫɨɜɩɚɞɚɸɳɟɣ ɫ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶɸ ɱɟɪɬɟɠɚ (ɪɢɫ. 8.31). Ɂɚɞɚɱɭ ɪɟɲɚɟɦ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɢɦ ɦɟɬɨɞɨɦ ɜ ɢɧɟɪɰɢɚɥɶɧɨɣ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɨɬɫɱɟɬɚ, ɠɟɫɬɤɨ ɫɜɹɡɚɧɧɨɣ ɫ ɩɨɬɨɥɤɨɦ.
II. Ɂɚɩɢɲɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɦɨɦɟɧɬɨɜ (ɫɦ. (6.48) ɜ ɩ. 6.1.2. Ƚɥɚɜɵ 6) ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡ ɦɚɹɬɧɢɤɨɜ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɩɨɞɜɢɠɧɵɯ ɨɫɟɣ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɢɯ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ ɢɯ ɤɪɟɩɥɟɧɢɹ ɤ ɩɨɬɨɥɤɭ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ (ɫɦ. ɪɢɫ. 8.31):
2 |
|
mgl sinD1 F1a cosD1 , |
(8.179) |
ml |
D1 |
||
2 |
|
mgl sinD2 F2 a cosD2 . |
(8.180) |
ml |
D2 |
ɉɪɢ ɦɚɥɵɯ ɭɝɥɚɯ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɦɚɹɬɧɢɤɨɜ ɨɬ ɜɟɪɬɢɤɚɥɢ ɩɪɟɧɟɛɪɟɝɥɢ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟɦ ɩɪɭɠɢɧɵ ɜ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɨɬ ɟɟ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɣ ɨɪɢɟɧɬɚɰɢɢ ɜ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ. ɉɪɢ ɡɚɩɢɫɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ (8.179) ɢ (8.180) ɭɱɬɟɧɨ ɬɚɤɠɟ, ɱɬɨ ɦɨɦɟɧɬɵ ɫɢɥ ɪɟɚɤɰɢɢ ɩɨɬɨɥɤɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɜɵɛɪɚɧɧɵɯ ɨɫɟɣ ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ.
ɋɢɥɚ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɚɹ ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɵ ɩɪɭɠɢɧɵ ɧɚ ɩɟɪɜɵɣ ɦɚɹɬɧɢɤ, ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɡɚɤɨɧɨɦ Ƚɭɤɚ (ɫɦ. (2.5) ɜ ɩ. 2.1.2
Ƚɥɚɜɵ 2), ɪɚɜɧɚ: |
|
F1 ka(sinD1 sin D2 ) . |
(8.181) |
ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɪɭɠɢɧɚ ɧɟɜɟɫɨɦɚ, |
ɬɨ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɬɨɪɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ |
ɇɶɸɬɨɧɚ ɫɢɥɵ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɟ ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɵ ɫɬɟɪɠɧɟɣ ɧɚ ɩɪɭɠɢɧɭ, ɪɚɜɧɵ, ɚ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɪɚɜɧɵ ɢ ɫɢɥɵ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɟ ɧɚ ɫɬɟɪɠɧɢ ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɵ ɩɪɭɠɢɧɵ (ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɬɪɟɬɶɢɦ ɡɚɤɨɧɨɦ ɇɶɸɬɨɧɚ):
F1 F2 . (8.182) ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ (8.181), (8.182) ɜ (8.179), (8.180) ɢ ɭɱɢɬɵɜɚɹ ɦɚ-
ɥɨɫɬɶ ɭɝɥɨɜ Di ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɫɬɟɪɠɧɟɣ ɨɬ ɜɟɪɬɢɤɚɥɢ ( sinDi # Di , cosDi # 1 ), ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɫɜɹɡɚɧɧɵɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ:
|
|
|
g |
D1 |
|
ka2 |
|
(D1 D2 ) |
0 , |
(8.183) |
||||
|
|
|
|
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||||||||
D1 |
|
|
l |
ml 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||
|
|
|
g |
|
D2 |
|
ka |
2 |
(D2 D1 ) |
0 . |
(8.184) |
|||
D2 |
|
l |
|
|
ml |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ⱦɟɥɚɹ ɡɚɦɟɧɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ |
|
|||||||||||||
[1 |
|
D1 D2 , |
|
|
|
|
(8.185) |
|||||||
[2 |
|
|
D1 D2 , |
|
|
|
|
(8.186) |
||||||
ȽɅȺȼȺ 8. ɋɜɨɛɨɞɧɵɟ ɢ ɜɵɧɭɠɞɟɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ |
|
315 |
|||||
|
|
A1Z1 |
sin(Z1t M1 ) |
A2Z2 |
sin(Z2t M2 ) . |
(8.196) |
|
|
|
||||||
D2 (t) |
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
1. ȼ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɨɛɚ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɨɬɤɥɨɧɢɥɢ ɜ ɨɞɧɭ ɫɬɨɪɨɧɭ ɧɚ |
|||||||
ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɣ ɭɝɨɥ D0 |
ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ |
||||||
t 0 ɢ ɨɬɩɭɫɬɢɥɢ ɫ ɧɭɥɟɜɨɣ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ, ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɭɫ-
ɥɨɜɢɹ ɡɚɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ: |
|
|||||||
D1 (t |
0) |
D0 , D2 (t 0) D0 , |
(8.197) |
|||||
|
(t |
|
|
|
|
|
|
(8.198) |
D1 |
0) 0 , D2 (t 0) 0 . |
|||||||
ȼɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɜɲɢɫɶ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ (8.193) (8.196) ɞɥɹ ɩɚɪɚɦɟɬ- |
||||||||
ɪɨɜ A1 , A2 ɢ M1 , M2 ɩɨɥɭɱɚɟɦ: |
|
|||||||
A1 |
2D0 , |
A2 |
0 , |
(8.199) |
||||
M1 |
0 , M2 |
0 . |
|
|
|
|
(8.200) |
|
ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɢɫɤɨɦɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɦɚɹɬɧɢɤɨɜ ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ |
||||||||
ɜɢɞ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
D1 (t) |
D0 cos |
|
g |
t , |
(8.201) |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
l |
|
||
D2 (t) |
D0 cos |
|
g |
t . |
(8.202) |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
l |
|
||
Ʉɚɤ ɜɢɞɢɦ, ɜ ɩɟɪɜɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɡɚɞɚɧɢɹ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɦɚɹɬɧɢɤɢ ɤɨɥɟɛɥɸɬɫɹ ɩɨ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɫ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ ɱɚɫɬɨ-
ɬɨɣ Z |
g |
, ɚɦɩɥɢɬɭɞɨɣ D |
0 |
ɢ ɧɭɥɟɜɨɣ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɮɚɡɨɣ. |
|
||||
1 |
l |
|
||
|
|
|
||
2. ȼɨ ɜɬɨɪɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɦɚɹɬɧɢɤɢ ɨɬɤɥɨɧɢɥɢ ɜ ɪɚɡɧɵɟ ɫɬɨɪɨɧɵ ɧɚ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɭɝɥɵ D0 ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɜ ɦɨ-
ɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t 0 ɢ ɨɬɩɭɫɬɢɥɢ ɫ ɧɭɥɟɜɨɣ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ, ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ:
D1 (t |
0) |
D0 , D2 (t |
0) |
D0 , |
(8.203) |
||||
|
(t |
0) |
0 |
|
2 |
(t |
0) |
0 . |
(8.204) |
D1 |
, D |
||||||||
Ʉɚɤ ɢ ɜ ɩɟɪɜɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ, ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɜɲɢɫɶ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ (8.193) (8.196) ɞɥɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ A1 , A2 ɢ M1 , M2 ɩɨɥɭɱɚɟɦ:
A1 |
0 , |
A2 |
2D0 . |
(8.205) |
M1 |
0 , |
M2 |
0 . |
(8.206) |
ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɢɫɤɨɦɵɟ ɡɚɤɨɧɵ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɦɚɹɬɧɢɤɨɜ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ:
316 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ɆȿɏȺɇɂɄȺ. ɆȿɌɈȾɂɄȺ Ɋȿɒȿɇɂə ɁȺȾȺɑ |
|
D1 |
D0 cos |
g |
|
|
2ka2 |
t , |
(8.207) |
|||
l |
|
ml 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
D2 |
D0 cos |
|
|
g |
|
2ka2 |
t . |
(8.208) |
||
|
|
l |
ml 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ʉɚɤ ɜɢɞɢɦ, ɜɨ ɜɬɨɪɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɡɚɞɚɧɢɹ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɦɚ- |
||||||||||
ɹɬɧɢɤɢ ɤɨɥɟɛɥɸɬɫɹ ɩɨ |
ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɦɭ |
ɡɚɤɨɧɭ ɜ ɩɪɨɬɢɜɨɮɚɡɟ ɫ |
||||||||
ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ ɱɚɫɬɨɬɨɣ Z2 |
g |
|
2ka2 |
ɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞɨɣ D0 . |
|
l |
ml 2 |
||||
|
|
|
3. ȼ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t 0 ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɩɨɤɨɹɳɢɯɫɹ ɜ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɲɚɪɢɤɨɜ ɫɨɨɛɳɢɥɢ ɧɚɱɚɥɶɧɭɸ ɫɤɨɪɨɫɬɶ X0 , ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɭɸ ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ, ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɡɚɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ:
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317 |
Ʉɚɤ ɜɢɞɢɦ, ɜ ɬɪɟɬɶɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɡɚɞɚɧɢɹ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɦɚɹɬɧɢɤɨɜ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬ ɫɨɛɨɣ ɫɭɩɟɪɩɨɡɢɰɢɸ ɞɜɭɯ ɝɚɪ-
ɦɨɧɢɱɟɫɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ Z |
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318 ɆȿɏȺɇɂɄȺ. ɆȿɌɈȾɂɄȺ Ɋȿɒȿɇɂə ɁȺȾȺɑ
ɥɟɛɚɧɢɹ ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ Z ɢ ɦɟɞɥɟɧɧɨ ɦɟɧɹɸɳɟɣɫɹ ɚɦɩɥɢɬɭɞɨɣ ɫ ɩɟ-
ɪɢɨɞɨɦ T |
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ɛɢɟɧ 2S |
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Ȼɢɟɧɢɹ – ɷɬɨ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɟ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɜɨɡɧɢɤɚɸɳɟɟ ɩɪɢ ɫɥɨɠɟɧɢɢ ɞɜɭɯ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫ ɛɥɢɡɤɢɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ.
ɇɚ ɪɢɫ. 8.32 ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɩɪɢɦɟɪɚ ɬɚɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɵ
ɜɪɟɦɟɧɧɵɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɭɝɥɨɜ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɦɚɹɬɧɢɤɨɜ ɩɪɢ Z2 1,1 .
Z1
D1(t) |
Tɛɢɟɧ |
t
D2(t)
t
Ɋɢɫ. 8.32
Ⱦɥɹ ɫɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɚ ɪɢɫ. 8.33 ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɵ ɜɪɟɦɟɧɧɵɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɭɝɥɨɜ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɦɚɹɬɧɢɤɨɜ ɩɪɢ ɫɢɥɶɧɨ ɪɚɡɥɢɱɚɸɳɢɯɫɹ
ɱɚɫɬɨɬɚɯ Z2 9 , ɱɬɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɚɥɢɱɢɸ ɫɢɥɶɧɨɣ ɫɜɹɡɢ ɦɟɠɞɭ
Z1
ɦɚɹɬɧɢɤɚɦɢ.
Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɨɦ ɜɵɛɨɪɟ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɜɫɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɥɟɛɥɸɬɫɹ ɩɨ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɫ ɨɞɧɨɣ ɢ ɬɨɣ ɠɟ ɱɚɫɬɨɬɨɣ, ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɮɚɡɚ ɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɫɢɫɬɟɦɵ ɦɨɝɭɬ ɪɚɡɥɢɱɚɬɶɫɹ (ɩɟɪɜɵɟ ɞɜɚ ɫɥɭɱɚɹ ɡɚɞɚɧɢɹ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɡɚɞɚɱɟ). Ɍɚɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɢɯ
ȽɅȺȼȺ 8. ɋɜɨɛɨɞɧɵɟ ɢ ɜɵɧɭɠɞɟɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ |
319 |
ɱɚɫɬɨɬɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɦɢ (ɫɦ. ɩ. 9.1. Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɚɬɟɪɢɚɥ ɜ Ƚɥɚɜɟ 9).
D1(t)
t
D2(t)
t
Ɋɢɫ. 8.33
ȼ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɜɨɡɛɭɠɞɚɸɬɫɹ ɜɫɟ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ (ɬɪɟɬɢɣ ɫɥɭɱɚɣ ɡɚɞɚɧɢɹ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɡɚɞɚɱɟ).
Ɂɚɞɚɱɚ 8.11
(ɋɜɨɛɨɞɧɵɟ ɧɟɡɚɬɭɯɚɸɳɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫ ɞɜɭɦɹ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ)
Ⱦɜɚ ɲɚɪɢɤɚ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ ɦɚɫɫɨɣ m, ɫɨɟɞɢɧɟɧɧɵɟ ɧɟɪɚɫɬɹɧɭɬɨɣ ɩɪɭɠɢɧɤɨɣ ɞɥɢɧɨɣ l0 ɢ ɠɟɫɬɤɨɫɬɶɸ k, ɥɟɠɚɬ ɧɚ ɝɥɚɞɤɨɣ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ. ɇɚ ɨɞɢɧ ɢɡ ɲɚɪɢɤɨɜ ɧɚɱɢɧɚɟɬ ɞɟɣɫɬɜɨɜɚɬɶ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ ɫɢɥɚ F, ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɚɹ ɜɞɨɥɶ ɨɫɢ ɩɪɭɠɢɧɤɢ. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɡɚɤɨɧɵ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɲɚɪɢɤɨɜ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɡɚɤɨɧ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɞɥɢɧɵ ɩɪɭɠɢɧɤɢ l(t).
Ɋɟɲɟɧɢɟ
I. ɉɪɢɥɨɠɢɦ ɫɢɥɭ F ɤ ɩɟɪɟɞɧɟɦɭ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɫɢɥɵ ɲɚɪɢɤɭ (ɫɦ. ɪɢɫ. 8.34). Ɂɚɞɚɱɭ ɪɟɲɚɟɦ ɜ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɨɣ ɢɧɟɪɰɢɚɥɶɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɨɬɫɱɟɬɚ, ɫɜɹɡɚɧɧɨɣ ɫ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶɸ. ɇɚɩɪɚɜɢɦ ɨɫɶ X ɞɟɤɚɪɬɨɜɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɜɞɨɥɶ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɫɢɥɵ ɢ ɫɨɜɦɟɫɬɢɦ ɧɚɱɚɥɨ ɨɬɫɱɟɬɚ ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ
320 |
ɆȿɏȺɇɂɄȺ. ɆȿɌɈȾɂɄȺ Ɋȿɒȿɇɂə ɁȺȾȺɑ |
ɦɚɫɫ ɫɢɫɬɟɦɵ ɬɟɥ «ɞɜɚ ɲɚɪɢɤɚ + ɩɪɭɠɢɧɤɚ» ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ (ɪɢɫ. 8.34).
Fɭɩɪ Fɭɩɪ F
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|
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x1 |
x2 |
X |
||||
O |
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Ɋɢɫ. 8.34
ɇɚ ɲɚɪɢɤɢ ɜ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɞɟɣɫɬɜɭɸɬ ɫɢɥɵ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɵ ɩɪɭɠɢɧɤɢ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɡɚɤɨɧɭ Ƚɭɤɚ (ɫɦ. ɩ. 2.1. Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɚɬɟɪɢɚɥ ɜ Ƚɥɚɜɟ 2). Ȼɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ ɩɪɭɠɢɧɤɭ ɧɟɜɟɫɨɦɨɣ ɢ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ (ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫɨ ɜɬɨɪɵɦ ɢ ɬɪɟɬɶɢɦ ɡɚɤɨɧɚɦɢ ɇɶɸɬɨɧɚ) ɫɢɥɵ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ, ɩɪɢɥɨɠɟɧɧɵɟ ɤ ɪɚɡɧɵɦ ɲɚɪɢɤɚɦ, ɪɚɜɧɵɦɢ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ. ɍɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɲɚɪɢɤɨɜ ɜ ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɧɚ ɨɫɶ X ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ:
|
k( x2 x1 l0 ) , |
(8.222) |
mx1 |
||
|
F k( x2 x1 l0 ) , |
(8.223) |
mx2 |
ɝɞɟ x2 ɢ x1 – ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɩɟɪɟɞɧɟɝɨ ɢ ɡɚɞɧɟɝɨ (ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɫɢɥɵ) ɲɚɪɢɤɨɜ.
ɉɨɥɭɱɟɧɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ (8.222) – (8.223) ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɞɜɭɯ ɫɜɹɡɚɧɧɵɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ, ɤɨɬɨɪɭɸ ɥɟɝɤɨ ɫɜɟɫɬɢ ɤ ɞɜɭɦ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦ ɞɥɹ ɞɥɢɧɵ ɩɪɭɠɢɧɤɢ l ɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɫɢɫɬɟɦɵ xɰɦ :
l(t) |
|
x2 (t) x1 (t) , |
|
(8.224) |
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xɰɦ |
(t) |
|
x2 (t) x1 |
(t) |
. |
(8.225) |
2 |
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ȼɵɱɢɬɚɹ ɢɡ (8.222) ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (8.223), ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ |
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ɞɥɹ ɞɥɢɧɵ ɩɪɭɠɢɧɤɢ |
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F 2k(l l0 ) . |
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(8.226) |
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ml |
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ɋɞɟɥɚɟɦ ɡɚɦɟɧɭ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ l(t) ɧɚ z(t) :
l(t) z(t) l0 |
F |
. |
(8.227) |
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2k |
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ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (8.226) ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ (8.1):
|
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2k |
z 0 . |
(8.228) |
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m |
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z |