2.3. Проверка теоремы о разложении дисперсии
Правило сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий.
Общая дисперсия по формуле:
=
Таблица 2.5
Расчетная таблица для нахождения общей дисперсии
|
№п/п |
|
|
|
|
1 |
18,24 |
-7,87 |
62,01 |
|
2 |
17,19 |
-8,92 |
79,64 |
|
3 |
21,82 |
-4,29 |
18,44 |
|
4 |
16,93 |
-9,18 |
84,35 |
|
5 |
20,96 |
-5,15 |
26,57 |
|
6 |
19,27 |
-6,84 |
46,84 |
|
7 |
19,13 |
-6,98 |
48,78 |
|
8 |
20,80 |
-5,31 |
28,24 |
|
9 |
18,80 |
-7,31 |
53,50 |
|
10 |
17,11 |
-9,00 |
81,08 |
|
11 |
17,18 |
-8,93 |
79,82 |
|
12 |
25,14 |
-0,97 |
0,95 |
|
13 |
47,18 |
21,07 |
443,76 |
|
14 |
50,84 |
24,73 |
611,36 |
|
15 |
63,70 |
37,59 |
1412,68 |
|
16 |
22,50 |
-3,61 |
13,06 |
|
17 |
18,27 |
-7,84 |
61,53 |
|
18 |
23,10 |
-3,01 |
9,09 |
|
19 |
22,24 |
-3,87 |
15,01 |
|
20 |
23,47 |
-2,64 |
6,99 |
|
21 |
16,01 |
-10,10 |
102,10 |
|
22 |
24,22 |
-1,89 |
3,59 |
|
23 |
26,67 |
0,56 |
0,31 |
|
24 |
25,88 |
-0,23 |
0,05 |
|
25 |
23,40 |
-2,71 |
7,37 |
|
|
|
|
|
Продолжение таблицы 2.5
|
26 |
23,25 |
-2,86 |
8,20 |
|
27 |
29,93 |
3,82 |
14,56 |
|
28 |
26,73 |
0,62 |
0,38 |
|
29 |
39,92 |
13,81 |
190,60 |
|
30 |
43,55 |
17,44 |
304,00 |
|
итого |
783,43 |
|
3814,87 |
=783,43/
30 = 26,11
-
общее среднее значение признака
n – количество элементов
– -
общая дисперсия для нечастотного
распределения признака
-
отдельные значения признака
-
общее среднее значение признака
n – количество элементов
Найдем межгрупповую дисперсию:
Таблица 2.6
Расчетная таблица для межгрупповых дисперсий
|
Группы регионов по численности населения |
Среднемесячная номинальная начисленная з/п |
x |
xi-x |
(xi-x)2 |
∑(xi-x)2 |
|
0.21 - 0.895 |
17,18 |
31,40 |
-14,22 |
202,21 |
1712,31 |
|
63,7 |
32,30 |
1043,29 |
Продолжение таблицы 2.6
|
|
18,27 |
|
-13,13 |
172,40 |
|
|
22,24 |
-9,16 |
83,91 | |||
|
23,47 |
-7,93 |
62,88 | |||
|
43,55 |
12,15 |
147,62 | |||
|
0.89 - 1.58 |
18,24 |
22,51 |
-4,27 |
18,23 |
442,44 |
|
17,19 |
-5,32 |
28,30 | |||
|
16,93 |
-5,58 |
31,14 | |||
|
19,13 |
-3,38 |
11,42 | |||
|
17,11 |
-5,40 |
29,16 | |||
|
23,1 |
0,59 |
0,35 | |||
|
24,22 |
1,71 |
2,92 | |||
|
26,73 |
4,22 |
17,81 | |||
|
39,92 |
17,41 |
303,11 | |||
|
1.58 - 2.26 |
19,27 |
33,35 |
-14,08 |
198,25 |
515,84 |
|
50,84 |
17,49 |
305,90 | |||
|
29,93 |
-3,42 |
11,70 | |||
|
2.26 - 2.95 |
21,82 |
22,26 |
-0,44 |
0,19 |
86,06 |
|
18,8 |
-3,46 |
11,97 | |||
|
16,01 |
-6,25 |
39,06 | |||
|
26,67 |
4,41 |
19,45 | |||
|
25,88 |
3,62 |
13,10 | |||
|
23,4 |
1,14 |
1,30 | |||
|
23,25 |
0,99 |
0,98 | |||
|
2.95 - 3.63 |
20,96 |
27,86 |
-6,90 |
47,61 |
499,45 |
|
|
20,8 |
|
-7,06 |
49,84 |
|
|
47,18 |
19,32 |
373,26 | |||
|
22,5 |
-5,36 |
28,73 | |||
|
3.63 - 4.32 |
25,14 |
25,14 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
18,6
Найдём внутригрупповые дисперсии для каждой группы регионов:
σ21
σ22
σ23
σ24,
σ25
σ26, = 0, т.к. в данных группах регионов, вес интервала не превышает единицы.
Найдём среднюю из внутригрупповых дисперсий:
По правилу сложения дисперсий, получим:
127,16 = 127,16
Вывод: теорема подтверждена.
Показана выполнимость Теоремы о разложении дисперсий.
4. Для определения параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2.7.
Пусть
-
Среднемесячная номинальная начисленная
з/п работников организаций тыс/руб
-
Численность населения на 1 января 2013
года млн. чел.
Таблица 2.7.
Расчетная таблица для вычисления тесноты связи между признаками
|
Регионы |
Численность населения на 1 января 2013 года млн. чел. |
Среднемесячная номинальная начисленная з/п работников организаций тыс/руб |
Y2 |
X2 |
y*x |
|
Удмурдская респ-ка |
1,52 |
18,24 |
332,70 |
2,31 |
768,6645 |
|
Чувашская респ-ка |
1,24 |
17,19 |
295,50 |
1,54 |
454,3548 |
|
Пермский
край |
2,63 |
21,82 |
476,11 |
6,92 |
3293,222 |
|
Кировская обл. |
1,32 |
16,93 |
286,62 |
1,74 |
499,4152 |
|
Нижегородская обл. |
3,29 |
20,96 |
439,32 |
10,82 |
4755,261 |
|
Оренбургская обл. |
2,02 |
19,27 |
371,33 |
4,08 |
1515,187 |
|
Пензенская обл. |
1,37 |
19,13 |
365,96 |
1,88 |
686,8645 |
|
Самарская обл. |
3,21 |
20,80 |
432,64 |
10,30 |
4457,966 |
|
Саратовская обл. |
2,5 |
18,80 |
353,44 |
6,25 |
2209 |
|
Ульяновская обл. |
1,27 |
17,11 |
292,75 |
1,61 |
472,1799 |
|
Курганская обл. |
0,89 |
17,18 |
295,15 |
0,79 |
233,7902 |
|
Свердловская обл. |
4,32 |
25,14 |
632,02 |
18,66 |
11795 |
|
Тюменьская обл. |
3,51 |
47,18 |
2225,95 |
12,32 |
27423,96 |
|
Ханты-Мансийский авт. Округ |
1,58 |
50,84 |
2584,71 |
2,50 |
6452,459 |
|
Югра Ямало - Ненецкий авт. Окр. |
0,54 |
63,70 |
4057,69 |
0,29 |
1183,222 |
|
Челябинская обл. |
3,49 |
22,50 |
506,25 |
12,18 |
6166,176 |
|
Респ. Алтай |
0,21 |
18,27 |
333,79 |
0,04 |
14,72027 |
|
Респ. Бурятия |
0,97 |
23,10 |
533,61 |
0,94 |
502,0736 |
|
Респ. Тыва |
0,31 |
22,24 |
494,62 |
0,10 |
47,53275 |
|
Респ. Хакасия |
0,53 |
23,47 |
550,84 |
0,28 |
154,7312 |
|
Алтайский край |
2,4 |
16,01 |
256,32 |
5,76 |
1476,404 |
|
Забайкальский край |
1,1 |
24,22 |
586,61 |
1,21 |
709,7962 |
|
Краснодарский край |
2,85 |
26,67 |
711,29 |
8,12 |
5777,444 |
|
Иркутская обл. |
2,42 |
25,88 |
669,77 |
5,86 |
3922,467 |
|
Кемеровская обл. |
2,74 |
23,40 |
547,56 |
7,51 |
4110,861 |
Продолжение таблицы 2.7
|
Новосибирская
обл. |
2,71 |
23,25 |
540,56 |
7,34 |
3969,945 |
|
Омская обл. |
1,97 |
29,93 |
895,80 |
3,88 |
3476,529 |
|
Томская обл. |
1,06 |
26,73 |
714,49 |
1,12 |
802,8042 |
|
Респ. Саха (Якутия) |
0,96 |
39,92 |
1593,61 |
0,92 |
1468,668 |
|
Камчатский край |
0,32 |
43,55 |
1896,60 |
0,10 |
194,2121 |
Получено
уравнение регрессии: 
.
С увеличением численности населения среднемесячная номинальная начисленная з/п работников организаций уменьшается на 1,28 тыс. рублей.
3. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Коэффициент
детерминации:
Коэффициент
корреляции, равный
,
показывает, что между рассматриваемыми
признаки существует слабая, практически
отсутствующая прямая связь (0.1 >rxy<
0.3). Коэффициент детерминации, равный
,
устанавливает, что вариацияСреднемесячная
номинальная начисленная з/п работников
организаций на
%
из 100% предопределена вариацией численности
населения. роль прочих факторов, влияющих
на число ДТП, определяется в 98,49%.
Общий вывод: средняя численность населения на 1 января 2013 года млн. чел равна 1,84 млн. человек, средняя значение номинальной начисленной з/п работников организаций тыс./руб., равна 26,11 тыс. рублей. Большая часть областей (9 из 30) обладает численностью населения в интервале от 0.89 до 1.58 млн. человек. Из них 8 лежит в интервале от 16,01 – 29,95 и один в интервале от 39,83 до 47,77. Половина регионов имеет численность населения на 1 января 2013 года меньше 0,92 млн. человек. Другая – больше. В половине регионов среднемесячная номинальная з/п работников организаций не превышает 13,05 т.р. Колеблемость признака в совокупности признак - фактора составляет