1.10. Полярные параметры прямой

Полярными параметрами можно задать положение всякой прямой на плоскости.

Рис. 4

Полярным расстоянием прямой (рис. 4) называется длина p перпендикуляра ОК, опущенного на прямую из начала координат О. Полярное расстояние может быть положительным или равным нулю (). Полярным углом прямой называется уголмежду положительным направлением

оси Ох и перпендикуляром, опущенным на прямую из начала координат. Полярное расстояние и полярный угол называются полярными параметрами прямой. При этом нормальное уравнение прямой можно записать в виде:

(10)

2. Прямые на плоскости: взаимное расположение

Утверждение 2. Пусть на плоскости заданы две прямые: иВ этом случае выполняется одно и только одно из трех условий:

1) прямые не имеют общих точек при этом система линейных алгебраических уравненийнесовместна (имеет пустое множество решений);

2) прямые имеют единственную общую точку при этом система линейных алгебраических уравненийимеет единственное решениекоторое может быть найдено, например, по формулам Крамера:

(11)

(12)

3) прямые совпадают при этом система линейных алгебраических уравненийне определена (имеет бесконечно много решений).

2.1. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой

Три точки ,,лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда определитель

.

(13)

Равенство нулю определителя (13) означает, что площадь «треугольника» равна нулю.

2.2. Взаимное расположение прямой и пары точек

Пусть заданы точки и общее уравнение некоторой прямой:Ax + By + C = 0. Вычислим значения величин ипо формулам:

(14)

(15)

Взаимное расположение точек иотносительно заданной прямой можно определить по следующим признакам:

1) числа иимеют одинаковые знаки, в этом случае точкиилежат по одну сторону от прямой;

2) числа иимеют противоположные знаки, в этом случае точкиилежат по разные стороны от прямой;

3) одно из чисел ,равно нулю (или оба равны нулю), в этом случае точкаилисоответственно (или обе) принадлежит прямой.

2.3. Расстояние от точки до прямой

Рис. 5

Расстояние d от точки до прямойAx + By + C = 0 (рис. 5) вычисляется по формуле: . (16)

2.4. Пучок прямых

Через одну фиксированную точку (рис. 6) на плоскости можно провести бесконечное множество прямых. Это множество называетсяцент-ральным пучком (пучком) прямых, а точка называетсяцентром пучка. Каждую из прямых пучка (кроме той, которая параллельна оси

ординат) можно представить уравнением:

(17)

где tg– угловой коэффициент прямой (см. рис. 6). Уравнение вида (17) называется уравнением пучка прямых с центром в точке

Рис. 6

2.5. Угол между прямыми

Если пара прямых на плоскости задана общими уравнениями: (рис. 7, прямаяf) и (рис. 7, прямаяg), то косинус угла между этими прямыми может быть вычислен по формуле:

Рис. 7

(18)

Если пара прямых на плоскости задана уравнениями «с угловым коэффициентом»: и, то тангенс угла между этими прямыми рассчитывается по уравнению:

tg

(19)

Если пара прямых на плоскости задана своими каноническими уравнениями: ито косинус угла между этими прямыми определяется по формуле:

(20)