Лекция № 6. Теория вероятностей

§ 1. Классификация событий. Опр. Событием в теории вероятностей называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате какого-то опыта (испытания). В теории вероятностей события обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д. или одной буквой, снабженной индексами:,,и т.д.

По возможности появления события делятся на достоверные, невозможные, случайные.

Опр. Достоверное событие - это такое событие, которое в результате данного испытания обязательно наступит.

Опр. Невозможное событие - это такое событие, которое в результате данного испытания не может произойти.

Опр. Случайное событие - это такое событие, которое в результате данного испытания может произойти, но может и не произойти.

Виды случайных событий. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. События,,…называютсяравновозможными, если условия их появления одинаковы.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания обязательно наступит хотя бы одно из них. На практике широкое применение находит полная группа несовместных событий. Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Событие, противоположное событию А, принято обозначать .

§ 2. Элементы комбинаторики. Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей. Комбинациями (соединениями) называют различные группы, составленные из каких-либо объектов. Элементами называются объекты, из которых составлены комбинации. Различают следующие три вида комбинаций: перестановки, размещения и сочетания.

Опр. Перестановками из элементов называют комбинации, содержащие всеэлементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов. Число перестановок изэлементов находится по формуле.

Опр. Размещениями из элементов пов каждомназывают такие комбинации, в каждую из которых входитэлементов, взятых из данныхэлементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число размещений изэлементов понаходят по формуле.

Опр. Сочетаниями из эл-ов поназывают комбинации, в каждую из которых входитэлементов, взятых из данныхэл-ов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним эл-ом. Число сочетаний изэлементов понаходят по формуле. Для упрощения вычислений приполезно использовать следующее свойство сочетаний:.

§ 3. Классическое определение вероятности. Опр. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, т.е. , где- число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению событияА; - число всех равновозможных элементарных исходов испытания.

Свойства вероятности: 1. Если А - достоверное событие, то 2. Если А - невозможное событие, то .3. Если А - случайное событие, то .Следовательно, вероятность любого события удовлетворяет неравенствам .

§ 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Опр. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении события А, или события В, или обоих событий вместе. Обозначается А+В=С. Если события и– несовместные, то событие+означает наступление одного из событийили.

Опр. Суммой нескольких событий , , …называется событиеС, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Обозначается С = ++…+.

Опр. Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении события А и события В. Обозначается .

Опр. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Обозначается С = ….

Т. слож. вер-ей несов. соб. Вер-ть суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий..

След. 1. Если события,, …,образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:.След. 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: .

Опр. Два события называются независимыми, если вероятность наступления одного из них (причем любого) не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. В противном случае события называются зависимыми.

Опр. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация из остальных событий (содержащая либо все события, либо часть из них) есть события независимые.

Опр. Условной вероятностью илиназывается вероятность событияА, вычисленной в предположении, что событие В уже наступило.

Т. умножения вероятностей независимых событий. Вероятность произведения (совместного наступления) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: .

След. Вероятность произведения (совместного наступления) нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: .

Т. Вероятность появления хотя бы одного из событий , , …, незав. в совокупности, равна разности между единицей ипроизведением вероятностей противоположных событий,, …, т.е..

Т. умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность произведения (совместного наступления) двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: или.

§ 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий ,, …, образующих полную группу. Будем эти события называть гипотезами. Вероятность событияА в этом случае вычисляется по формуле , которая носит названиеформулы полной вероятности.

Формула Байеса (вероятности гипотез). Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий ,, …,, образующих полную группу. Вероятности этих гипотез до опыта известны и соответственно равны,, …. Произведен опыт, в результате которого наступило событиеА. Вероятность гипотезы, после того, как событиеА наступило, определяется по формуле Байеса ,.

§ 6. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления событияА постоянна и равна , то вероятность того, что внезависимых испытаниях событиеА наступит ровно раз, определяется по формуле Бернулли, где. На практике формулой Бернулли удобно пользоваться, если.

Формула Пуассона. Если производится достаточно большое число испытаний (велико), в каждом из которых вероятность наступления событияА постоянна, но мала, то вероятность того, что в испытаниях событиеА наступит раз, определяется приближенно формулой, где.

Локальная т. Лапласа. Если производится независимых ис-ий (- велико), и вероятность наступления событияА в каждом испытании постоянна и равна , то вероятность того, что внезависимых ис-ях событиеА наступит раз, определяется по формуле, где,, причем результат тем точнее, чем ближе значениеки чем больше. Функция– четная,.Зам. Значения функции при, приполагают

Интегральная т. Лапласа. Если вер. наступления соб-яА в каждом из независ. ис-ий постоянна и отлична от нуля и ед-цы, то вер. того, что внезависимых ис-ях событиеА наступит не менее чем раз и не более чемраза, определяется по ф-ле,,,. Ф-я- нечетная,. При

Опр. Наивероятнейшим числом появления события А внезависимых испытаниях называется число, для которого вероятность превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число определяется по формуле,где- число независимых испытаний,- вероятность наступления событияА в одном испытании, - вероятность не наступления событияА в одном испытании, - наивероятнейшее число наступлений событийА.