3114

УДК 519.2

Теория вероятностей : методические указания и контрольные задания по дисциплине «Высшая математика» для студентов всех специальностей очной формы обучения / О.Е. Лаврусь, Ю.В. Гуменникова, К.В. Гуменников, Р.Н. Хайруллина. – Самара : СамГУПС, 2012. – 89 с.

Методические указания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по высшей математике и охватывают основные разделы теории вероятности.

В методических указаниях приведены индивидуальные задания, необходимые теоретические сведения, а также примеры решения задач, аудиторные занятия.

Предназначены для студентов всех специальностей очной формы обучения.

Утверждены на заседании кафедры 09.09.2011, протокол № 7. Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.

Составители: О.Е. Лаврусь Ю.В. Гуменникова К.В. Гуменников Р. Н. Хайруллина

Рецензенты: к. ф.-м. н., доцент СамГУ Л.А. Воскресенская; к. ф.-м. н., доцент СамГУПС Л.В. Кайдалова

Под редакцией зав. кафедрой «Высшая математика» Кузнецова В.П. Компьютерная верстка Е.А. Ковалева

Подписано в печать 23.11.2012. Формат 60х84. 1/16. Усл. печ. л. 5,56. Тираж 100 экз. Заказ 271.

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2012

2

3

I.СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.Определение вероятности. Элементы комбинаторики

Классическая вероятность

Мера возможности наступления события называется его вероятностью. Классическая вероятность события А определяется как отношение количества элементарных исходов m, благоприятствующих событию А, к количеству всех возможных элементарных исходов n:

Элементы комбинаторики

Пусть дано множество N из n объектов. Возможные последовательности из всех n объектов называют перестановками. Общее число Pn различных

перестановок из n объектов вычисляют по формуле:

где n!=1 2 3 ... n (читается «n – факториал», причем считается, что 0!=1).

Сочетаниями называют подмножества множества N. Общее число сочетаний Сnm из n объектов по m вычисляют по формуле:

В сочетаниях порядок элементов в подмножествах не учитывается. Размещениями называют упорядоченные последовательности объектов

подмножеств множества N. Число размещений Anm вычисляют по формуле:

4

Статистическое определение вероятности

Относительная частота события А W (A) определяется как

отношение числа испытаний m, в которых событие А наступило, к общему числу проведенных испытаний n:

При достаточно большом n относительная частота W (A) обладает устойчивостью и принимается в качестве вероятности события.

Геометрическое определение вероятности

Пусть каждому из возможных исходов соответствует точка пространства, а системе всех возможных исходов – некоторая область D этого пространства. Всем благоприятствующим исходам соответствует область d D .

Если Sd и SD - метрические характеристики (длина, площадь, объем)

областей d и D, то геометрическая вероятность события А вычисляется по формуле:

АЗ – 1.1

1. Образуют ли полную группу следующие события: а) Опыт – бросание монеты; события:

А1 – появление герба; А2 – появление цифры.

б) Опыт – бросание двух монет; события: В1 – появления двух гербов;

В2 – появление двух цифр.

в) Опыт – два выстрела по мишени; события: А0 – ни одного попадания;

А1 – одно попадание; А2 – два попадания.

г) Опыт – два выстрела по мишени; события: С1 – хотя бы одно попадание;

5

С2 – хотя бы один промах.

д) Опыт – вынимание карты из колоды; события: D1 – появление карты червовой масти;

D2 – появление карты бубновой масти;

D3 – появление карты трефовой масти. Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет.

2. Являются ли несовместными следующие события: а) Опыт – бросание монеты; события:

А1 – появление герба; А2 – появление цифры.

б) Опыт – бросание двух монет; события:

В1 – появления герба на первой монете; В2 – появление цифры на второй монете.

в) Опыт – два выстрела по мишени; события: А0 – ни одного попадания;

А1 – одно попадание; А2 – два попадания.

г) Опыт – два выстрела по мишени; события: С1 – хотя бы одно попадание;

С2 – хотя бы один промах.

д) Опыт – вынимание двух карт из колоды; события: D1 – появление двух черных карт;

D2 – появление туза;

D3 – появление дамы. Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) да.

3. Являются ли равновозможными следующие события: а) Опыт – бросание симметричной монеты; события:

А1 – появление герба; А2 – появление цифры.

б) Опыт – бросание неправильной (погнутой) монеты; события: В1 – появления герба;

В2 – появление цифры.

в) Опыт – два выстрела по мишени; события: С1 –попадание;

С2 – промах.

г) Опыт – бросание двух монет; события: D1 – появления двух гербов;

D2 – появление двух цифр;

6

D3 – появление одного герба и одной цифры;

д) Опыт – вынимание двух карт из колоды; события: E1 – появление карты червовой масти;

E2 – появление карты бубновой масти;

E3 – появление карты трефовой масти.

е) Опыт – бросание игральной кости; события: F1 – появление не менее трех очков;

F2 – появление не более четырех очков.

Ответ: а) да; б) нет; в) в общем случае нет; г) нет; д) да, е) да.

4. Являются ли случаями (образуют полную группу, несовместны и равновозможны) следующие группы событий:

а) Опыт – бросание монеты; события: А1 – появление герба;

А2 – появление цифры.

б) Опыт – бросание двух монет; события: В1 – появления двух гербов;

В2 – появление двух цифр.

в) Опыт – бросание игральной кости; события: С1 – появление не более двух очков;

С2 – появление трех или четырех очков С3 – появление не менее пяти очков.

г) Опыт – выстрел по мишени; события: D1 –попадание;

D2 – промах.

д) Опыт – два выстрела по мишени; события: E0 –ни одного попадания;

E1 – одно попадание;

E1 – два попадания

е) Опыт – вынимание двух карт из колоды; события: F1 – появление двух красных карт;

F2 – появление двух черных карт.

E3 – появление карты трефовой масти. Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет, е) нет.

5. Приведите примеры:

а) трех событий, образующих группу случаев (т.е. образующих полную группу, несовместных и равновозможных);

б) трех событий, равновозможных и несовместных, но не образующих полной группы;

7

в) двух событий, несовместных и образующих полную группу, но не равновозможных;

г) двух событии, равновозможных и образующих полную группу, но совместных.

Ответ: а) см. 4 в) ; б) см 3 д); в) см 3 в); г) см 3 е).

6.В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар. Найти вероятности следующих событий:

А – белый шар; В – черный шар; С – зеленый шар;

D – черный или белый шар.

7.Игральная кость бросается один раз. Найти вероятности следующих событий:

А – появления «шестерки»; В – появления четного числа очков;

С – появления не менее 5 очков; D – появления не более 5 очков.

8.Из колоды карт (36 листов) наугад извлекается одна карта. Найти вероятность следующих событий:

А – карта крестовой масти; В – карта - красный король; С – карта - не картинка; D – карта младше десятки.

9.Игральная кость бросается два раза. Найти вероятности следующих событий:

А – сумма выпавших очков равна 8; В – произведение выпавших очков равно 6;

С – сумма выпавших очков больше, чем их произведение; D – оба раза появятся одинаковое число очков.

Ответ: P(A) = 365 ; P(B) = 364 ; P(C) = 1136 ; P(D) = 16 .

10. Из урны, содержащей n пронумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номер вынутых шаров будут идти по порядку: 1, 2, …, n.

Ответ: n1!.

8

11. То же, что в предыдущей задаче, но каждый шар после вынимания вкладываются обратно и перемешивается с другими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет записана последовательность: 1, 2, …, n.

1

Ответ: nn .

12.В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают одновременно два шара. Какое событие более вероятно:

А – шары одного цвета; В – шары разных цветов.

13.7 человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что два конкретных человека окажутся рядом.

Ответ: 27!7 = 3601 .

14.Та же задача, но 7 человек рассаживаются на скамейке.

Ответ: 27!6 = 4201 .

15.В соревнованиях участвуют 7 равных по силе шахматистов. Сколько существует вариантов распределения мест между ними? Сколько вариантов распределения призовых мест (1-е, 2-ое и 3-е)?

Сколько бригад по 4-е человека можно составить из 10-ти человек? Сколькими способами можно расставить 5 поездов на 8-ми запасных путях?

Ответ: 1) P6 = 7!= 5040; 2) A73 = 210; 3) C104 = 210 ; 4) A85 = 6720.

16. Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круге:

а) квадрата; б) правильного треугольника;

в) правильного шестиугольника;

г) круга радиусом R2 .

Ответ: а) π2 ; б) 34π3 ; в) 32π3 ; г) 14 .

17. В книге 300 страниц. Найти частоту появления страниц с номерами, кратными 5.

9

Работа 1

Задание

1.Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для решаемого варианта.

2.Определить испытания и элементарные события.

3.Определить исследуемое событие А и другие события.

4.Установить, какие формулы следует использовать для вычислений и выполнить последние. Вычисления произвести, по возможности, точно.

V – номер варианта, n – последняя цифра номера варианта

Задание 1. Студент знает ответы на V + 3 вопросов из 35. найти вероятность того, что он вытащит на зачете известный ему вопрос?

Задание 2. В группе V девушек и V + 2 юношей. По жребию выбирают одного человека. Найти вероятности следующих событий:

А – отобран юноша; В – отобрана девушка.

Задание 3. Сколькими способами можно расставить n + 3 книг на книжной полке?

Задание 4. Сколькими способами из n + 5 человек можно выбрать счетную комиссию из 3-х человек?

Задание 5. Сколькими способами могут быть распределены призовые места (1- е, 2-е и 3-е) в команде из n + 4 спортсменов?

Задание 6. Слово составлено из карточек, на каждой из которой написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятности того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

10