19

Вейвлетные преобразования сигналов

Multiresolution analyses. Wavelet transformations of signals. Digital signals processing.

Тема 21. Вейвлетный кратномасштабный анализ

Кто-то ради насмешки спросил философа: "Если я сожгу тысячу мин дерева, сколько получится мин дыма?". "Взвесь, - сказал Демонакт, - золу, все остальное - дым".

Лукиан из Самосаты. Греческий писатель, II в.д.н.э.

Математики – мутация философов, утратившая способность отвечать на вопросы просто и понятно. Особый шик – ответить так, чтобы у тебя отвисла челюсть. И скрыться в теоретическом тумане от практического вопроса: почему же все-таки дыма получается больше дров?

Владимир Кузьмин. Новосибирский геофизик Уральской школы, ХХ в.

Содержание

Введение.

1. Принцип кратномасштабного анализа. Дискретные ортогональные преобразования. Вейвлет Хаара. Свойства преобразования.

2. Математические основы кратномасштабного анализа. Исходные условия. Масштабирующая функция. Базисный вейвлет. Разложение функций на вейвлетные ряды. Вычисление вейвлетных рядов.

3. Быстрое вейвлет-преобразование. Принцип преобразования. Алгоритм Малла. Реконструкция сигналов. Пакетные вейвлеты.

4. Фильтры дуальной декомпозиции и реконструкции сигналов. Идеальные фильтры. Реальные фильтры. Сопряженные квадратурные фильтры.

5. Ортогональные и биортогональные вейвлеты. Коэффициенты вейвлета. Пример расчета. Вейвлет Добеши. Биортогональные вейвлеты.

6. Двумерные вейвлеты.

Введение

В практике передачи информации часто требуется представить сигнал в виде совокупности его последовательных приближений. Например, при просмотре и передаче изображений с выборкой из некоторой базы данных можно сначала передать грубую его версию, а затем (при необходимости) последовательно ее уточнять. При сжатии изображений очень часто без потери качества можно убирать из изображения незначимые мелкомасштабные детали.

В общем случае, произвольный информационный сигнал в теории цифровых временных рядов обычно рассматривается в виде суммы разнотипных составляющих: региональной функции тренда - средних значений по большим интервалам усреднения, циклических компонент с определенным периодом повторения, как правило, достаточно гладких по форме, локальных особенностей (аномалий) разного порядка, вплоть до интервенций – резких изменений в определенные редкие моменты, и флюктуаций значений более высокого порядка (шумов) вокруг всех вышеперечисленных составляющих сигнала. Инструментом разделения (декомпозиции) сигналов на такие составляющие с учетом разрешения по времени и по частоте, анализа их порядка и реконструкции сигналов из определенных составляющих (или с исключением определенных составляющих, например шумов или малозначимых деталей) является кратномасштабный (многомасштабный) анализ (КМА).

КМА позволяет получить хорошее разрешение по времени (плохое по частоте) на высоких частотах и хорошее разрешение по частоте (плохое по времени) на низких частотах. Этот подход становится особенно эффективным, когда сигнал имеет высокочастотные компоненты короткой длительности и протяженные низкочастотные компоненты. Именно такие сигналы и встречаются чаще всего на практике.

Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов, причем, чем больший масштаб имеет вейвлет, тем более широкая область сигнала будет оказывать влияние на результат свертки.Теория кратномасштабного анализа базируется на теории функциональных пространств.

Понятие кратномасштабного анализа (Multiresolution analyses) является фундаментальным в теории вейвлетов. Это определяется тем, что для кратномасштабного анализа разработан быстрый каскадный алгоритм вычислений, подобный быстрому преобразованию Фурье.