Работа № 5 Построение логарифмических частотных характеристик систем автоматического регулирования
Продолжительность работы – 4 часов.
Цель работы
Получение навыков расчета частотных характеристик элементарных линейных звеньев. Исследование особенностей построения частотных характеристик (вещественных, мнимых, амплитудно-частотных, фазовых) и реальных и идеальных (асимптотических) логарифмических частотных характеристик элементарных линейных звеньев, построение характеристик с применением пакета символьной математики Mathcad.
Теоретическое обоснование
При практических расчетах СУ удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмических координатах. Такие характеристики называют логарифмическими.Они имеют наименьшую кривизну и могут быть приближенно заменены ломанными линиями, составленными из нескольких отрезков. Причем эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений, при помощи некоторых простых правил. Кроме того в логарифмической системе координат легко находятся характеристики различных соединительных элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.
Логарифмическая частотная характеристика (ЛАЧХ)– частотная характеристика в логарифмическом масштабе.
L(), дб Октава
20
10
-1 0 1 2 lg
0,1 0,5 1 2 5 10 100
-10 Декада
-20
За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду. Декада – интервалы частоты, заключенный между произвольным значением ωiи его десятикратным значением 10ωi. Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.
Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)
L(ω)=20lg{W(ω)}
Ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – Белах или децибелах(дБ).
1 Бел = 10 дБ
1 Бел – единица измерения мощностей двух сигналов.
- ЛАЧХ
из передаточной функциисистемы заменой комплексной переменнойsнаможет быть получена функция, называемаякомплексным коэффициентом передачи системы
комплексный коэффициент передачи может быть представлен в двух видах:
,
,
где и -вещественная и мнимаячастотные характеристики системы,
и-амплитудно-частотнаяифазово-частотная характеристики системы.
Связь между этими частотными характеристиками определяется формулами
Амплитудно-частотная характеристика системы является модулем комплексного коэффициента передачи , а фазовая частотная характеристика - его аргументом
В частотной области динамические свойства линейных звеньев характеризуются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной(ФЧХ) характеристиками. Эти характеристики связаны с передаточной функциейсоотношениями
где - комплексный коэффициент передачи,
- комплексная переменная
При анализе и синтезе систем управления используются логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ).
Функция называетсялогарифмической амплитудно-частотной характеристикой(ЛАЧХ). По оси абсцисс ЛАЧХ строится в десятичном масштабе частот, а по оси ординат -Единицей измеренияявляется децибел (дБ), а единицей измерения интервала частоты - декада. Декада - интервал частоты, на котором она изменяется в десять раз.
Логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ) называется фазовая частотная характеристика , построенная в десятичном масштабе частотlgω. Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) измеряется в радианах или градусах.
Низкочастотная асимптота ЛАЧХ представляет собой предел
Высокочастотная асимптота ЛАЧХ есть предел логарифмической АЧХ
Асимптотической ЛАЧХ является характеристика, составленная из асимптот.
Разность между действительной и асимптотическойЛАЧХ есть поправка
Частота , на которой сопрягаются различные асимптоты, называются частотой сопряжения.
Для ЛАЧХ, составленных из трех и более участков асимптот, существует несколько частот сопряжения ωс1, ωс2, ωс3, и т.д. Обычно частоты сопряжения нумеруются в порядке возрастания, т.е.ωс1<ωс2<ωс3<…Наибольшая разностьимеет место на частоте спряженияωсi.Поэтому именно в ее окрестностях следует учитывать поправку.
Построение логарифмических частотных характеристик сложных систем
Методика построения ЛАЧХ сводится к следующим этапам:
ЛАЧХ строится по W(s) разомкнутой части системы.
Определить коэффициент пропорциональности системы К и 20lgК ;
Определить частоты сопряжения элементарных звеньев и определить lgwс, гдеwс- соответствующие частоты сопряжения;
Расположить элементарные звенья по возрастанию частот сопряжения wс и lgwс;
Задаться наклоном +20дБ/дек или -20дБ/дек и кратным им наклонам в масштабе координатной плоскости;
Если передаточная функция разомкнутой части системы содержит nодинаковых звеньев, то наклон ЛАЧХ будет увеличен вnраз.
Методику построения ЛАЧХ системы можно разделить на четыре типа по особенностям системы управления:
для статической системы;
для астатической;
для системы с дифференцирующим звеном;
для системы с неявно выраженным апериодическим звеном второго порядка.
Ниже представлены частотные характеристики и асимптотические ЛАЧХ и методика их расчета для типовых звеньев.