Колебания и волны

Министерство образования Российской Федерации

Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Факультет дистанционного обучения

О.В. Музычук

ФИЗИКА

Часть 4. Колебания и волны

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Нижний Новгород - 2003

ББК 22.3 Д 25

Музычук О.В. Физика. Часть 4. Колебания и волны. Учебное пособие.

– Н.Новгород: Нижегород. гос. архит.-строит. ун-т, 2003. – с.

ISBN 5-87941-268-7

В учебном пособии представлен теоретический материал по разделу «Колебания и волны», примеры решения задач с использованием основных законов, составлены варианты контрольных заданий.

ББК 22.3

Колебания и волны

1. Колебательные процессы.

1.1Введение, классификация колебаний.

1.2Кинематика гармонических колебаний.

1.3Гармонический осциллятор, начальные условия.

1.4Преобразование энергии в процессе гармонических колебаний.

1.5Физический маятник.

1.6Затухающие колебания.

1.7Колебательный контур, собственные колебания.

1.8Вынужденные колебания в контуре, резонансная кривая.

1.9Сложение колебаний одинаковой частоты, биения.

1.10Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

1.11Примеры решения задач.

1. ВВЕДЕНИЕ, КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ.

Колебательным процессом, или колебанием называют любой

где t - время, T - период колебания, n = 1, 2, ... , x - отклонение некоторой величины от своего равновесного значения. Выражение (1) означает, что значение величины x повторяется через промежутки времени T, 2T, и.т.д. Иногда равенство (1) приближенное, например, если колебания затухают. Колебательные процессы окружают нас повсюду, и такой вид движения относится к самым распространенным в природе и технике. Колебания существуют не только в физических системах; это может быть биологический объект, экономический или социальный процесс и.т.п. Мы будем рассматривать физические системы, хотя используемое математические описание, известное как теория колебаний, является весьма общим .

Колебания возникают в любой системе, имеющей устойчивое состояние равновесия при отклонении от этого состояния. В механических колебательных системах при отклонении от равновесия возникает сила, которая стремится вернуть систему назад; еѐ называют возвращающей или квазиупругой силой. Например, в случае самой простой модели - груз на пружине - это сила упругости. Слово «сила» в общем случае не следует понимать буквально: в механике это может быть и момент силы, для электромагнитных колебаний эта «сила» обусловлена явлением самоиндукции.

Колебания различаются по нескольким классификационным признакам. Во-первых по форме (т.е по виду функции x(t) ). Здесь колебания делятся на две группы: гармонические и негармонические ( все

остальные). Гармоническими называют колебания, описываемые функцией времени вида

циклическая частота , - начальная фаза колебаний. Заметим, что вместо функции синус в формуле (2) можно писать и косинус (они отличаются по фазе на / 2 ).

Рис.1.

. Осциллограммы гармонических колебаний. Начальная фаза 1-го колебания равна нулю, второго - / 2 .

Гармонические колебания выделяются из всех других по следующим двум причинам: во-первых достаточно малые колебания, как правило, являются гармонически. Во вторых колебания любой другой формы (негармонические), в сущности, представляют собой суперпозицию гармонических (в математике это положение называется теоремой Фурье, а соответствующее представление периодических функций - рядом Фурье).

По характеру возникновения колебания делятся на собственные (или свободные) и вынужденные. Собственные - это колебания, вызванные только начальными условиями (например, начальным смещением или начальной скоростью). Вынужденные - это колебания вызванные действием периодической (т.е. также колебательной) внешней «силы».

По динамике процесса колебания делятся на незатухающие, затухающие (при этом амплитуда уменьшается со временем), нарастающие (амплитуда растет). Например, собственные колебания всегда являются затухающими. Существуют также автоколебания - колебания, вызванные действием непериодической «силы» и параметрические колебания - колебания, вызванные периодическим изменением какого-либо параметра системы, связанного с еѐ энергией (например, раскачивание качелей без внешнего воздействия).

2. КИНЕМАТИКА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.

Рассмотрим гармоническое колебание, описываемое уравнением (2). Напомним, что x(t ) - смещение некоторой величины от равновесного состояния. Колебание определяется заданием амплитуды, частоты и начальной фазы.

Если смещение определяется формулой (2), то мгновенная скорость v есть производная по времени от x , а ускорение a - вторая производная

Из выражений (4) ясно, что максимальная скорость и максимальное ускорение определяются формулами

3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР, НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ.

Рассмотрим простейшую модель колебательной системы - груз массы m, закрепленный на пружине с коэффициентом жесткости k, который может перемещаться без трения в горизонтальном направлении

(см. рис.2).

Рис.2. Пружинный маятник.

предстоит выяснить. Мы получили дифференциальное уравнение,

общим решением дифференциального уравнения (8) является гармоническое колебание (2), циклическая частота которого

Дифференциальное уравнение (8) называется уравнением

гармонического осциллятора (oscillation - колебание). Оно имеет

пружинного маятника определяется формулой (9), а в общем случае она определяется свойствами самой колебательной системы.

Выясним, от чего зависит амплитуда и начальная фаза. Положив в

Отсюда можно выразить амплитуду и начальную фазу:

Таким образом, амплитуда и начальная фаза собственных колебаний определяется начальными условиями . В рассмотренном примере это начальное смещение груза и начальная скорость. В частности, если колебание возникает из-за начального смещения (начальная скорость равна нулю), то как видно из (10), A x0 , / 2 . Если колебание вызвано начальным толчком (заданием начальной скорости в положении равновесия), то A v0 / , 0 .

4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ В ПРОЦЕССЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.

При любом колебательном процессе происходит периодическое преобразование энергии из одного вида в другой. В рассмотренной модели это потенциальная энергия деформированной пружины и кинетическая энергия груза. Они определяются выражениями

и cos2 ( 0 t ) одинаковы. Складывая эти формулы (и учтя основное

Таким образом, хотя потенциальная и кинетическая энергии изменяются со временем (см. рис.3), полная энергия колебаний не зависит от времени и определяется выражением (11) .

Рис.3. Первая кривая - гармоническое колебание, вторая - его потенциальная энергия, третья - кинетическая энергия.

Видно, что максимум кинетической энергии соответствует минимуму потенциальной и наоборот, а сумма их остается постоянной. Сохранение энергии обусловлено тем, что мы пока не учли трение. Хотя формула (11) получена для простейшей модели колебательного движения,

заметим, что энергия колебаний в любой системе пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты.

5. ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК.

Физический маятник - это любое тело, имеющее ось вращения, не совпадающую с его центром масс (см., например, рис.4) . Здесь точка С - центр масс, l - его расстояние до оси вращения О.

Рис.4. Физический маятник.

При выведении из состояния равновесия он будет совершать колебания, которые при небольших амплитудах будут гармоническими. Покажем это. Исходим из основного уравнения динамики вращательного движения

Обозначив mgl / I 02 , мы получим дифференциальное уравнение «похожее» на уравнение гармонического осциллятора (8). Конечно, это совсем другое уравнение и гармоническое колебание не является его решением, а значит колебания физического маятника не являются в общем случае гармоническими. Однако, если они достаточно малы, так, что можно считать sin , то уравнение (13) превратится в (8) (разумеется для текущего значения угла (t) ), где циклическая

частота собственных колебаний определяется формулой

Следовательно, период колебаний равен

T 2 / 0 2 I / mgl . (15)

В частности, для математического маятника ( для него момент инерции I ml 2 ) из (15) получается хорошо знакомая вам формула

T 2 l / g .

6. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Любые собственные колебания со временем затухают из-за потерь энергии. В механических системах основной причиной таких потерь является вязкое трение. Вязкое трение - это трение движущегося тела о среду. При малых скоростях движения она пропорциональна скорости

где - коэффициент вязкого трения (он зависит от вязкости среды, размеров и формы тела). Вернемся к простейшей модели - пружинному маятнику (см. П.3) и учтем в формуле (7) кроме упругой силы силу трения (16). При этом уравнение осциллятора (8) запишем в виде

Рис.5.

Осциллограммы затухающих колебаний. Коэффициенты затухания для этих кривых связаны соотношением 1 2 3 . Кривая 3 соответствует границе апериодического режима.

Частота затухающих колебаний несколько меньше частоты незатухающих

колебательной системы. Последние две характеристики безразмерны; слабое затухание соответствует малому значению декремента, или большой ( Q>>1 ) добротности.

7. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР; СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.