Свойства определителей

1. Величина определителя не изменится, если его строки заменить столбцами с теми же номерами.

Пример

;

.

2. Если поменять местами в определителе какие-либо две строки (два столбца), то определитель изменит свой знак на противоположный.

Пример

;

.

3. Если какая-либо строка (столбец) содержит общий множитель для всех ее (его) элементов, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

Пример

4. Если какая-либо строка (столбец) определителя целиком состоит из нулей, то такой определитель равен нулю.

Пример

5. Определитель, содержащий две одинаковых строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

Пример

6. Если элементы одной строки (одного столбца) определителя соответственно пропорциональны элементам другой строки (другого столбца) этого определителя, то такой определитель равен нулю.

Пример

(В этом определителе элементы третьей строки могут быть получены из элементов второй строки умножением на два.)

7. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить элементы другой строки (столбца) этого же определителя, умноженные на какое-либо произвольное число, то величина определителя не изменится.

Пример

8. Если какая-либо строка (столбец) определителя является линейной комбинацией двух других его строк (столбцов) (т.е. каждый элемент этой строки (столбца) есть сумма произведений соответствующих элементов двух других строк (столбцов), умноженных на некоторые коэффициенты), то такой определитель равен нулю.

Пример

Рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений.

Пример

Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства указаны в таблице. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках функционирования предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также в планировании микроэкономики предприятий.

Таблица

Вид сырья	Расход сырья по видам продукции, вес.ед/изд.			Запас сырья, вес. Ед.
	1	2	3
1	6	4	5	2400
2	4	3	1	1450
3	5	2	3	1550

Решение:

Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через ,и. Тогда при условии полного расхода запасов каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая эту систему любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах): ,и.

§ 2. Решение систем линейных уравнений

Определение 1. Уравнения, в которых все переменные имеют первую степень и отсутствуют произведения переменных, называются линейными.

В дальнейшем будем рассматривать частный случай систем линейных уравнений, а именно систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

(1)

Определение 2. Решением системы (1) является тройка чисел ,, подстановка которых во все уравнения системы обращает каждое из них в тождество.

Определение 3. Система уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если решений нет.

Определение 4. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет бесконечное множество решений.

Совместная система может иметь единственное решение только тогда, когда число уравнений не меньше числа переменных.

Определение 5. Две системы называются равносильными, если каждое решение первой системы удовлетворяет второй, и, наоборот, каждое решение второй системы удовлетворяет первой.

Равносильность системы не нарушается:

1. если поменять местами уравнения системы;

2. если умножить обе части любого из уравнений системы на постоянное число ;

3. сложить почленно два любых уравнения системы и заменить одно из них полученной суммой.