Глава 1. Элементы линейной алгебры

§ 1. Матрицы и определители

Для решения многих сельскохозяйственных задач используются элементы алгебры матриц и векторной алгебры, особенно при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Пример

Дана таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики

Ресурсы	Отрасли экономики
	промышленность	сельское хозяйство
Электроэнергия	5,3	4,1
Трудовые ресурсы	2,8	2,1
Водные ресурсы	4,8	5,1

Эта таблица может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям: А

В этой записи, например, матричный элемент показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент– сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Определение 1. Матрицей размера (типа) mn называется таблица чисел строки

   … 

столбцы

Величины , стоящие в строках и столбцах матрицы, называются элементами матрицы; это могут быть числа, переменные, функции и пр.В обозначении элемента первый индексi указывает номер строки, а второй индекс j указывает номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Определение 2. Квадратной матрицей n-ого порядка называется матрица размера n n:

Например, квадратная матрица второго порядка имеет следующий вид: ,

а квадратная матрица третьего порядка – .

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)–строкой А, а из одного столбца –матрицей (вектором)–столбцом А.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Например, А– диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой Е.

Например, Е– единичная матрица третьего порядка.

Линейные операции над матрицами

1. Сумма матриц. Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С = А + В того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е. , где;.

Например, А,В, тогда

С = А + В .

2. Умножение матрицы на действительное число. Произведением матрицы на действительное число называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицыА на число , т.е.для;.

Например, А,, тогда

=.

3. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В данном случае, матрица А называется согласованной с матрицей В. Тогда произведением матриц называется такая матрица, каждый элемент которой равен сумме произведений элементовi-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т.е.

, ; .

Например, вычислим произведение матриц

А=,В=.

Найдем размер матрицы–произведения: .

Вычислим элементы матрицы , умножая элементы каждой строки матрицы на соответствующие элементы столбцов матрицыВ следующим образом:

== .

Произведение матриц нане существует, так как количество столбцов первой матрицыравное 3 не совпадает с количеством строк второй матрицыравным 2, то есть матрицы не являются согласованными.

Произведение матриц некоммутативно АВ ≠ ВА.

Матрицы, для которых выполняется переместительный закон АВ = ВА, называются коммутативными.

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из определений этих операций):

1. А + В = В + А 2) (А + В) + С = А + (В + С)

3. (А + В)= А+ В 4) А(В + С) = АВ + АС

5. (А+В)С = АС + ВС 6) (АВ) = (А)В = А(В)

7. А(ВС) = (АВ)С.

Матричное произведение вектор-строки на вектор-столбец называется скалярным произведением.

Пример

Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида колбасных изделий, основные производственно-экономические показатели, которых приведены в таблице

Вид изделия	Количество изделий	Расход сырья, кг/изд.	Норма времени изготовления, ч/изд.	Цена изделия, ден. ед./изд.
1	20	5	10	30
2	50	2	5	15
3	30	7	15	45
4	40	4	8	20

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.

Решение: По данным таблицы составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

, s =,t ,p ,

где q – вектор ассортимента; s – вектор расхода сырья; t – вектор затрат рабочего времени; p – ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента q на три других вектора:

расход сырья S = qsкг,

затраты рабочего времени T = qtч,

стоимость выпускаемой продукции предприятия

P = qp ден. ед.

Пример

Предприятие выпускает четыре вида изделий молочной продукции с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Вид сырья

1 2 3 4

А

Требуется найти затраты сырья каждого вида при заданном плане выпуска каждого вида изделия: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение: Составим вектор-план выпуска продукции q =.

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение матрицы А на вектор q:

Аq = .

Определение 3. Число называетсяопределителем второго порядка, соответствующим матрице .

Пример

Найти определитель матрицы .

Решение: .

Определение 4.

Число

называется определителем третьего порядка, соответствующим матрице .

Пример

Найти определитель матрицы .

Решение: