Свойства ранга матрицы

1. Ранг матрицы, полученной транспонированием, равен рангу исходной матрицы. 2. Ранг матрицы останется неизменным, если вычеркнуть или приписать нулевую строку (т. е. строку, все элементы которой равны нулю) или нулевой столбец.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к квазитреугольной форме. Ранг квазитреугольной матрицы равен r, поскольку ее минор с главной диагональю а11а22,...,аnn равен произведению не равным нулю а все миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки).

2) Гиперболой называют геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.  Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем систему координат следующим образом:

Отметим следующие свойства гиперболы.

Свойство 10.6. 

Гипербола не имеет общих точек с осью Oy , а ось Ox пересекает в двух точках A  ( a ; 0) и B  (– a ; 0), которые называются вершинами гиперболы .

Доказательство

Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Oy нужно совместно решить их уравнения  Подставляя x  = 0 в уравнение гиперболы, получима это означает, что система не имеет решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось ординат.

Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Ox нужно решить совместно их уравнения  Отсюда, подставляя y  = 0 в уравнение гиперболы, получаем x  = ± a .

Таким образом, точками пересечения гиперболы с осью Ox будут точки A  ( a ; 0) и B  (– a ; 0).

Отрезок AB называется действительной осью гиперболы, его длина равна 2 a . Число a называется действительной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью .

Свойство 10.7. 

Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Доказательство

Обоснование этого свойства аналогично тому, как обосновано свойство 10.3 для эллипса.

Свойство 10.8. 

Гипербола имеет центр симметрии.

Доказательство

Если координаты точки M  ( x ;  y ) удовлетворяют уравнению гиперболы, тому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N  (– x ; – y ). Точка N , очевидно, симметрична точке M относительно начала координат.

Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы .

Свойство 10.9. 

Гипербола пересекается с прямой y  =  kx при в двух точках. Еслито общих точек у прямой и гиперболы нет.

Билет 14

1 )Линейное пространство называется конечномерным, если в нем

есть линейно независимая система, состоящая из n векторов, а любая ко-

нечная система из большего числа векторов линейно зависима. Если тако-

го числа нет, т.е. если для любого n в линейном пространстве существует

линейно независимая система из n векторов, то такое линейное простран-

ство называется бесконечномерным.

Конечномерным линейным пространством является линейное про-

странство геометрических векторов на прямой, на плоскости или в про-

странстве с обычными операциями сложения векторов и умножения век-

торов на действительные числа. Линейное пространство всех функций

действительного переменного, определенных и непрерывных на отрезке

[a, b], с обычными операциями сложения функций и умножения функции

на действительные числа является бесконечномерным.

Мы будем изучать лишь конечномерные линейные пространства. 3

Всякую конечную упорядоченную систему векторов линейного про-

странства L называют базисом или базой линейного пространства, если

эта система векторов линейно независима и любой вектор линейного про-

странства линейно выражается через век торы этой системы. В определе-

нии сказано, что базис – упорядоченная система векторов. Это означает,

что каждому вектору в базисе приписан определенный номер. Из одной и

той же системы векторов можно получить различные базисы, по-разному

нумеруя векторы. Как следует из определения, базис является максималь-

ной линейно независимой системой векторов в линейном пространстве.

Наоборот, любая максимальная линейно независимая система векторов в

линейном пространстве является базисом (конечно, после фиксации опре-

деленного порядка векторов в системе). Отметим, что любую линейно не-

зависимую систему векторов в линейном пространстве можно дополнить

до максимальной, т.е. до базиса в этом линейном пространстве. Отсюда, в

частности следует, что в конечномерном линейном пространстве сущест-

вует бесконечное число базисов. Вместе с тем, в данном линейном про-

странстве все базисы имеют одно и то же число векторов. Если в линейном

пространстве L существует базис из n векторов, то это пространство ко-

нечномерно, причем n есть максимальное число линейно независимых

векторов в этом линейном пространстве. Это число называют размерно-

стью линейного пространства и пишут dim L = n, само линейное про-

странство называется n-мерным и обозначается через L_n

.

2)Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой , не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы.