3.2. Показательная функция

Показательная функция ,определена при всехи принимает положительные значения. Она непрерывна на всей прямой. Если, то, а если, то. Её производная равна. Эта величина меньшедля всех, если. При этом функция возрастает. Если же, то производнаядля всех, функция убывает. Её вторая производнаядля всехи всех. Поэтому график выгнут вниз. На рисунке изображены графикиприи, соответственно.

3.3 Логарифмическая функция

Логарифмическая функция является обратной для показательной функции, т.е.для всех.

Областью определения логарифмической функции является множество . Разумеется, показательная функция тоже является обратной функцией для логарифмической, однакотолько при.

Логарифмическая функция непрерывна в своей области определения.

Поэтому ее график имеет вертикальную асимптоту . Производнаяположительная при, еслии отрицательна, если. Поэтому прифункция возрастает, приубывает. Множество ее значений:. Вторая производнаяотрицательна прии положительна, если. Поэтому в первом случае график выгнут вверх, а во втором случае – вниз. Разумеется, график этой функции симметричен графику соответствующей показательной функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

3.4 Тригонометрические функции

Функция .

Эта функция определена и непрерывна на , является нечетной и периодической с наименьшим положительным периодом.При стремлениикпредела этой функции нет.

Её производная . Эта величина положительна прина нихвозрастает, и отрицательна при, где функция убывает. В точкахфункция имеет локальные максимумы, а в точках- локальные минимумы. Соответствующие значения равны 1 и -1. Поэтому множеством значений является отрезок. Наконец,, поэтому, если, где график выгнут вниз, и, если, где график выгнут вверх.

Функция .

Ввиду равенства , график функцииполучается из графика функциисдвигом по осивлево на.

Функция

Она определена при , т.к.. В области определения она является непрерывной. График имеет вертикальные асимптоты в точках, причем,. Функция нечётная, т.к.. Это периодическая функция с наименьшим положительным периодом. Так какв области определения,строго возрастает на каждом интервале. Её множество значений совпадает с., приграфик выгнут вверх, при- выгнут вниз. В точках- перегибы.

График функции .

Этот график легко построить, используя равенство .

3.5 Обратные тригонометрические функции

График функции .

Функция определена и непрерывна на отрезке . Она является нечетной. Так какдля всех, функция возрастает. Множество её значений – отрезок. Вторая производная. Привыполняется неравенство, график выгнут вниз, при-, график выгнут вверх. Точка- точка перегиба. График имеет вид:

График функции можно построить из графика функции, используя формулу.

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.,, поэтому график имеет горизонтальные асимптоты. Функция нечетная. Производная, функция возрастает. Её множество значений - интервал. Вторая производная равнаОна положительна прии отрицательна при. Приграфик выгнут вниз, при- выгнут вверх. Точка– точка перегиба.

График функции получается из этого графика по формуле.