Глава 1. Двойные интегралы

§1. Определение двойного интеграла и критерий интегрируемости

1. Определение двойного интеграла

Мы будем рассматривать функции , определённые на квадрируемом (то есть имеющем площадь) множестве. Практически всегда представляет собой фигуру, ограниченную кусочно-гладкой кривой, или конечное объединение таких фигур. Далее, говоря о квадрируемом множестве, мы ограничиваемся рассмотрением именно таких множеств.

Если вспомнить теорию определённого интеграла, то мы начали её изложение с понятия разбиения отрезка. По аналогии, определим разбиениеквадрируемого множества, как представление множествав виде объединения конечного числа квадрируемых частей,.

Можно считать, что разбиение на частитакже осуществляется с помощью спрямляемых(т.е. имеющих длину) кривых, то есть всетакже являются фигурами с кусочно-гладкими границами, либо конечными объединениями таких фигур.

В одномерном случае мы рассматривали длины частей разбиения . В двумерном случае обобщением понятия длиныбудет площадь. Однако нам потребуется также понятиедиаметра множества . Эта величина определяется, как точная верхняя грань расстояний между точками множества . В частности, если – круг, то – это как раз длина диаметра круга в обычном смысле. В общем понятие диаметра множества поясняет рисунок:

Ясно, что если невелик, то и площадьтакже невелика, поскольку неравенствоозначает, чтосодержится некотором в круге радиусаи имеет площадь не больше, чем.

Действительно, возьмём произвольную точку множествав качестве центра этого круга. Так как, остальные точкилежат внутри круга.

Однако площадь множества может быть невелика, а достаточно велик. Пример – очень тонкий прямоугольник.

Определим диаметрразбиенияT как наибольший из диаметров частей этого разбиения. Далее, как и в одномерном случае, выберем точки(было:).Пустьимеет координаты. Важную роль в дальнейшем будет играть понятиеинтегральной суммы, определяемой равенством . Так же, как и в одномерном случае, эта величина имеет простой геометрический смысл. Вспомним, что суммапредставляла собой площадь ступенчатой фигуры вида:

(для простоты считаем, что ).

Напомним, что объём цилиндра с основанием, имеющим площадь и с высотойравен. Поэтому интегральная сумма равна объёму тела, состоящего из цилиндров с высотой(для простоты считаем, что) и основаниями.

Перейдём к основному определению.

Определение. Пусть - ограниченная на квадрируемом множествефункция. Пусть. Если

_, , , (1)

то будем говорить, что f – интегрируемая на функция и что число является её интегралом на этом множестве. Используется обозначение.

Иногда используют обозначение .

Замечание. Это определение несколько отличается от определения обычного определённого интеграла, в котором отсутствовало требование ограниченности функции . Дело в том, что для обычного определённого интеграла из выполнения условия (1) следовало необходимое условие интегрируемости:если интегрируема на, тоограничена на.

Для двойного интеграла из выполнения условия (1) не следует, что функция ограничена. Это условие, например, заведомо выполняется для любой определённой на множестве функции, если множествоимеет равную нулю площадь. Для того, чтобы у двойного интеграла сохранились все важные свойства определённого интеграла и добавлено требование ограниченности функции.

2. Критерий интегрируемости

Критерий существования определённого интеграла формулировался в терминах сумм Дарбу, т.е. сумм вида,, где,, то есть- нижняя грань, а- верхняя грань значенийпри.

Рассуждая аналогично, рассмотрим для ограниченной на квадрируемом множестве функции числа ,(эти числа существуют ввиду предполагаемой ограниченности функции на и, значит, на всех. Определим суммы Дарбу равенствами ,. Эти величины представляют собой объемы тел, состоящих из цилиндров с основаниями и высотами, соответственно, и . Ясно, что для любого разбиенияпри любом выборе точеквыполнены неравенства между суммами Дарбу и интегральной суммой, соответствующей этому выбору точек:.

На рисунке изображены тела, объёмы которых равны суммам Дарбу.

Нижняя сумма Дарбу

Верхняя сумма Дарбу

Вполне аналогично одномерному случаю можно доказать критерий существования двойного интеграла.

Теорема 1.1. Ограниченная на квадрируемом множестве функция интегрируема тогда и только тогда, когда

(На экзамене ограничиваемся формулировкой).

Из этого критерия следует теорема.

Теорема1.2. Если функция непрерывна на квадрируемом множестве , то интегрируема на этом множестве.

(На экзамене достаточно формулировки).