Поскольку в состав интеграла уже входит произвольная постоянная, то в нее можно включить и слагаемое c и в результате получим формулу интегрирования по частям

(11)

Эта формула представляет собой тождество, справедливое для любой пары функций u и v. В некоторых случаях (разумеется не всегда) интеграл, стоящий в (11) справа проще интеграла, стоящего слева. Тогда применение формулы имеет смысл.

Всмотримся внимательнее в формулу (11). Мы видим, что множитель u, стоящий в левом интеграле при переходе к правому интегралу заменяется на du, т.е. дифференцируется. Другой же сомножитель dv заменяется на v т.е. интегрируется.

Эта необходимость интегрирования не всего выражения, а одного сомножителя и объясняет термин дифференцирования по частям. Рассуждая абстрактно, можно утверждать, что упрощение интеграла происходит от любой из этих операций.

Однако, в подавляющем большинстве случаев, упрощение происходит именно от дифференцирования множителя u. Таким образом, если в составе подынтегральной функции есть множитель, упрощающийся от дифференцирования, то полезно применять формулу (11), приняв упомянутый множитель за u, а остальное за dv.

ПРИМЕР.

РЕШЕНИЕ. В состав подынтегральной функции входит lnx, производная от которого гораздо проще его самого. Поэтому полагаем

(12)

Но ведь мы хотим воспользоваться формулой (11) и для этого нам нет необходимости привлекать все множество функций (12), а достаточно использовать одну из них. Разумеется, самое простое - взять ту функцию, которая отвечает значению C=0, т.е. положить

И в общем случае, когда применяют интегрирование по частям, то произвольную постоянную в интеграл по dv не вводят.

Имеем на основании формулы (11)

(13)

Так как

, (14)

Рассмотри еще ряд примеров на применение формулы интегрирования по частям.

А) . Полагаем

Отсюда

В) Полагаем

Отсюда

Но,

Значит

Во всех рассмотренных примерах мы следовали общему указанию: выбирать за u множитель, упрощающийся от дифференцирования. Попробуем отступить от этого указания. Пусть .

Попробуем за u принять множитель e^x, хотя он и не упрощается от дифференцирования. Тогда

Отсюда

Хотя это равенство верное, но оно бесполезно, так как правый интеграл сложнее левого.

Однако иногда бывают ситуации, что правый интеграл в точности равен левому. Пусть, например

А) . Тогда

Отсюда

Справа получился исходный интеграл I. Поэтому

В)

Тогда

Отсюда (15)

Справа получился интеграл примерно той же сложности, что и исходный. Это часто является указанием на возможность приведения интеграла к самому себе. В нашем случае применим интегрирование по частям к интегралу .

Тогда

Отсюда

(16)

Подставляя это в (15), находим

Откуда

(17)

Заметим, что нами попутно вычислен и интеграл , так как из (16) и (17) вытекает

Таким образом, формула интегрирования по частям применима и когда интегралы совпадают.

то

.

Это и есть значение исходного интеграла.

Замечание. Строго говоря, подставляя в (16), мы должны были написать не (+C), а (-C), но так как C- все равно произвольная постоянная, то безразлично какой знак перед ней ставить.

Полезно запомнить следующие 6 типов интегралов, вычислять которые удобно интегрированием по частям.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Для интегралов 1,2,3 следует принимать u за множитель xⁿ. Это приведет к интегралу сходного типа, но уменьшит показатель степени на единицу. После n-кратного применения этого приема мы получим один из табличных интегралов

В интегралах 4,5,6 от дифференцирования упрощается трансцендентный множитель (т.е. lnx ,arctgx, arcsinx). Его и следует принять за u.