Введение.

В данной лекции продолжается изучение темы «Неопределенный интеграл», включающей три лекции, три практических занятия и одно лабораторное занятие. Данная лекция продолжает изучение фундаментального вопроса математического анализа: неопределенного интеграла. И. Ньютон и Г. Лейбниц независимо друг от друга нашли общий метод для нахождения первообразных функций, построили логические основы дифференциального и интегрального исчисления. Строгое изложение теории интегрирования появилось в прошлом веке. Решение этой проблемы тесно связано с именами О. Коши, Б. Римана, Г. Дарбу. Обобщения понятия интеграла в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом, А. Данжуа, советским математиком А. Хинчиным. Лекция продолжает изучение методов интегрирования.

1. Интегрирование некоторых иррациональных

выражений.

Во многих случаях интегрирование рациональной функции удается выполнить, сведя эту функцию к рациональной. Этот прием называют рационализацией подынтегральной функции, а подстановку – рационализирующей. Существо метода покажем на примерах

Пусть

.

Полагая , находим откуда

.

Дело свелось к интегрированию рациональной дроби. Поскольку дробь неправильная, то делим с остатком числитель на знаменатель

Остается вернуться к старой переменной x, заменяя z

Аналогичным образом для интеграла

рационализирующая подстановка имеет вид , ибо x фигурирует у нас под корнем кубическим. Выполняя эту подстановку, находим

откуда

Сложнее обстоит дело в случае интеграла

.

Ведь здесь x фигурирует и под знаком квадратного и под знаком кубического корня. Чтобы эти оба корня извлеклись, естественно положить . Это дает

откуда

После разбора этих примеров становится ясным следующее правило: если f (u, v,w,…) – рациональная функция своих аргументов, а a,b,… - целые положительные числа, то интеграл

(1)

приводится к интеграл от рациональной функции при помощи подстановки

, (2)

где N – наименьшее общее кратное показателей корней.

Сходная подстановка рационализирует подынтегральную функцию и в более общем интеграле

(3)

где f – рациональна, a,b,… - целые, а K, L, P, Q – постоянные.

Именно, здесь надо положить

, (4)

где N, как и выше, - наименьшее общее кратное показателей корней.

Рассмотрим следующий пример:

1. Пусть

Полагая находим

значит

Рассмотрим теперь интегралы вида:

(5)

Подобные интегралы вычисляются без труда в следующих случаях:

А) числитель Ax+B есть производная подкоренного трехчлена в знаменателе;

В) числитель не зависит от x, т.е. A=0.

Действительно, в случае а) надо положить , что приводит интеграл (5) к виду

Например,

В случае в) интеграл можно рационализовать с помощью подстановок Эйлера.

• первая подстановка Эйлера применяется при a>0:

;

• вторая подстановка Эйлера применяется в случае :

;

• третья подстановка Эйлера применяется при c>0:

.

В правой части подстановок может быть выбрана любая комбинация знаков; в конкретных случаях надо выбирать конкретную комбинацию.

Пример. Найти

.

Решение. Применим первую подстановку Эйлера:

Следовательно,

Подстановки Эйлера, играя важную теоретическую роль, на практике приводят обычно к громоздким выкладкам, поэтому прибегать к ним надо в тех случаях, когда не удается вычислить интеграл ни одним из других способов.

2. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

В этом пункте мы докажем интегрируемость любой функции вида:

, где R – рациональная функция.

Докажем, что интеграл от этой функции рационализируется подстановкой . Действительно,

Отсюда получаем

,

т.е. мы получили интеграл от рациональной функции.

Пример. Вычислить интеграл

Решение. Применяя универсальную тригонометрическую подстановку, получим

.

Рассмотрим отдельно два случая:

1. 0<a<1

2. a>1

На практике универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким выкладкам. В ряде случаев удобны другие подстановки:

a) t=cosx, если R(-sinx, cosx)=-R(sinx, cosx);

b) t=sinx, если R(sinx, -cosx)=-R(sinx, cosx);

c) t=tgx, если R(-sinx, -cosx)=-R(sinx, cosx).

Для практического получения выражений неопределенных интегралов в конечном виде составлены обширные справочники и таблицы. Однако, доказано, что существуют функции, первообразные которых, а значит и неопределенные интегралы, в элементарных функциях не выражаются. Эти неопределенные интегралы существуют, имеют важные практические приложения и подробно изучаются в математическом анализе. Укажем некоторые из них:

Отметим еще интеграл где a, b – произвольные постоянные, а m, n, p – рациональные числа, причем a, b, n отличны от нуля; подынтегральное выражение такого вида называется биномиальным дифференциалом. Великий русский математик П. Л. Чебышев доказал, что этот интеграл выражается в элементарных функциях в том и только в том случае, когда хотя бы одно из чисел целое. Если же это условие не выполнено, то указанный интеграл в элементарных функциях не выражается.

Контрольные вопросы по теме занятия:

1. Напомните определение первообразной.

2. Дайте определение неопределенного интеграла.

3. Вспомните таблицу интегралов, введенную в предыдущей лекции.

Контрольные вопросы по теме занятия:

4. Напомните определение первообразной.

5. Дайте определение неопределенного интеграла.

6. Вспомните таблицу интегралов, введенную в предыдущей лекции.

Заключение.

В лекции рассмотрены вопросы, посвященные методам интегрирования. В первом вопросе лекции рассмотрены алгоритмы интегрирования простейших иррациональных функций. Во втором вопросе лекции рассмотрены методы интегрирования тригонометрических функций. Приведены некоторые интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях. К практическому занятию необходимо изучить вопросы, рассмотренные на лекции. Данная лекция и практическое занятие имеют свое продолжение в теме «Определенный интеграл», «Кратные интегралы» и др.