Из этого определения следует, что функция считается заданной, если:
- задана область определения функции X ;
- задана область значений функции Y ;
- известно правило ( закон ) соответствия, причём такое, что для каждого
значения аргумента может быть найдено только одно значение функции.
Это
требование однозначности функции
является обязательным.
Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x1 и x2 на интервале I из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) > f ( x1 ), то функция f ( x ) называется возрастающей; если для любых x1 и x2 на интервале I из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) < f ( x1 ), то функция f ( x ) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.
Ограниченная
и неограниченная функции. Функция
называется ограниченной,
если существует такое положительное
число M,
что | f
(
x )
|
M
для
всех значений x
. Если
такого числа не существует, то функция
- неограниченная.
П р и м е р ы .
Функция, изображённая на рис.3, является ограниченной, но не монотонной. Функция на рис.4 - как раз наоборот, монотонная, но неограниченная. ( Объясните это, пожалуйста ! ).
Непрерывная и разрывная функции. Функция y = f ( x ) называется непрерывной в точке x = a, если :
1) функция определена при x = a, т.e. f ( a ) существует;
2) существует конечный предел lim f ( x ) ;
x→a
3) f ( a ) = lim f ( x ) .
x→a
Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке x = a. Если функция непрерывна во всех точках своей области определения, то она называется непрерывной функцией.
Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место: f ( x ) = f ( x ), то функция называется чётной; если же имеет место: f ( x ) = f ( x ), то функция называется нечётной. График чётной функции симетричен относительно оси Y ( рис.5 ), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6 ).
Периодическая функция. Функция f ( x ) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f ( x + T ) = f ( x ). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.
П
р и м е р 1 . Доказать, что
sin x
имеет период 2
Р
е ш е н и е . Мы знаем, что
sin ( x+
2
n
)
= sin x,
где n
= 0, 1, 2, …
Следовательно,
добавление 2
n
к
аргументу синуса не
меняет его значениe. Существует ли другое
число с таким
же свойством ? Предположим, что P – такое число, т.e. равенство:
sin ( x+ P ) = sin x,
справедливо
для любого значения x.
Но тогда оно имеет
место и при x
=
/
2 , т.e. sin (
/
2+
P )
= sin
/
2 = 1.
Но
по формуле приведения sin (
/
2+
P )
= cos P.
Тогда из двух последних равенств
следует, что cos P
= 1, но мы знаем, что это верно лишь
при P
= 2
n.
Так как наименьшим отличным от нуля
числом из 2
n
является
2
,
то это число и есть период sinx.
Аналогично доказывается, что
2
является
периодом и для cos x
.Докажите, что функции tan x
и cot x
имеют период
.
П р и м е р 2. Какое число является периодом функции sin 2x ?
Р
е ш е н и е . Рассмотрим sin 2x
= sin ( 2x
+ 2
n
)
= sin [ 2 ( x
+
n
Мы
видим, что добавление
n
к
аргументу
x,
не меняет
значение функции. Наименьшее отличное от нуля число
из
n
есть
таким
образом, это период sin 2x
.
Нули функции. Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём ( корнем ) функции. Функция может иметь несколько нулей. Например, функция y = x ( x + 1 ) ( x3 ) имеет три нуля: x = 0, x = 1, x = 3. Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .
На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a, x = b и x = c .
Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой.
Построение графиков функций выражения которых содержит знак абсолютной величины.
Графики элементарных функций.( линейные, квадратичной зависимости.) Влияние коэффициентов на вид графика функции.
|
1. |
Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k x ,
где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).
График
прямой
пропорциональности
– прямая линия, проходящая через
начало координат и образующая с осью
X
угол
|
|
2. |
Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени: A x + B y = C , где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.
|
|
3. |
Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k / x , где k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью ( о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия» ). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy = k.
Основные характеристики и свойства гиперболы:
-
область определения функции:
x
- функция монотонная ( убывающая ) при x < 0 и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ( подумайте, почему ? ); - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая; - нулей функция не имеет. |
|
4. |
Квадратичная
функция. Это
функция:
y
= ax
2
+ bx
+ c,
где a,
b, c
- постоянные, a
График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:
Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x2 и дискриминанта D: D = b2 – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12. |
,
тангенс которого равенk
:
tan
=k
( рис.8 ). Поэтому, коэффициент
пропорциональности называется также
угловым
коэффициентом.
На рис.8 показаны три графика для
k
= 1/3, k
= 1 и k
= 3 .
0,
область значений:
y
0
;
0.
В простейшем случае имеем: b
=
c =
0 и y
= ax
2.
График этой функции
квадратная парабола - кривая,
проходящая через начало координат (
рис.11 ). Каждая парабола имеет ось
симметрии OY,
которая называется осью параболы.
Точка
O
пересечения
параболы с её осью называется вершиной
параболы.
Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0 .
Основные характеристики и свойства квадратной параболы:
-
область определения функции:
<x+
(
т.e.x
R
), а область
значений: … ( ответьте, пожалуйста , на этот вопрос сами ! );
- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины
ведёт себя, как монотонная;
- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,
и непериодическая;
-
при
D
<
0 не имеет нулей. ( А что при D
0
? ) .
|
5. |
Степенная
функция. Это
функция:
y
= axn,
где a
, n
– постоянные. При n
= 1 получаем прямую
пропорциональность:
y
=
ax;
при n
= 2 - квадратную
параболу;
при n
= 1 - обратную
пропорциональность или
гиперболу.
Таким
образом, эти функции - частные случаи
степенной функции. Мы знаем, что нулевая
степень любого числа, отличного от
нуля, равна 1, cледовательно, при n
= 0 степенная функция превращается в
постоянную величину: y
=
a,
т.e. её график - прямая линия,
параллельная оси Х,
исключая начало координат ( поясните,
пожалуйста, почему ? ). Все эти случаи
( при a
= 1 ) показаны на рис.13 ( n
Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.
При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой. На
рис.16 представлена функция |
0
) и рис.14 (n
< 0 ). Отрицательные значения x
здесь
не рассматриваются, так как тогда
некоторые функции:
.
Эта функция является обратной к
квадратной параболе y
= x
2,
её график получается поворотом графика
квадратной параболы вокруг биссектрисы
1-го координатного углаЭто способ
получения графика любой обратной
функции из графика её исходной функции.
Мы видим по графику, что это двузначная
функция ( об этом говорит и знак
перед квадратным корнем ). Такие функции
не изучаются в элементарной математике,
поэтому в качестве функции мы
рассматриваем обычно одну из её
ветвей: верхнюю или нижнююДробно линейной функции. 1/ f(x). Элементарное исследование функций. (четность и нечетность функции, возрастание, убывание )
Обобщенное понятия угла и круговой дуги. Различные меры углов и дуг. Определение тригонометрических функций угла .Знаки тригонометрических функций. Формулы приведения.
Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус ( обозначение ° ) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение ‘ ); одна минута – соответственно из 60 секунд ( обозначаются “ ).
Радианная мера.Как мы знаем из планиметрии ( см. параграф
«Длина дуги» в разделе «Геометрическое
место точек. Круг и окружность» ), длина
дугиl , радиусrи
соответствующий центральный угол
связаны соотношением:
=
l / r .
Эта формула лежит в
основе определения радианной меры
измерения углов. Так, если l=r , то
=
1, и мы говорим, что угол
равен
1 радиану, что обозначается:
=
1рад. Таким образом, мы имеем следующее
определение радианной меры измерения:
Радиан есть центральный угол,у которого длина дуги и радиус равны( AmB = AO, рис.1 ). Итак,радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.
Следуя этой формуле, длину окружности C и её радиусr можно выразить следующим образом:
2
=C
/ r .
Так, полный
оборот, равный 360° в градусном измерении,
соответствует 2
в радианном измерении. Откуда мы
получаем значение одного радиана:
Обратно,
Полезно помнить следующую сравнительную таблицу значений наиболее часто встречающихся углов в градусах и радианах:
Тригонометрические функции острого угла есть отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника ( рис.2 ):
1) Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A = a / c .
2) Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = b / c .
3) Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему: tan A = a / b .
4) Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему: cot A = b / a .
5) Секанс - отношение гипотенузы к прилежащему катету: sec A = c / b .
6) Косеканс - отношение гипотенузы к противолежащему катету: cosec A = c / a .
Аналогично записываются формулы для другого острого угла B ( Запишите их, пожалуйста ! ).
П р и м е р . Прямоугольный треугольник ABC ( рис.2 ) имеет катеты:
a = 4,b= 3. Найти синус, косинус и тангенс угла A.
Р е ш е н и е . Во-первых, найдём гипотенузу, используя теорему Пифагора:
c 2 = a 2 + b 2 ,
Согласно вышеприведенным формулам имеем:
sinA=a / c= 4 / 5; cosA= b / c= 3 / 5; tanA=a / b= 4 / 3.
Для некоторых углов можно записать точные значения их тригонометрических функций. Наиболее важные случаи приведены в таблице:
Углы
0° и 90°, строго говоря, не являются острыми
в прямоугольном треугольнике, однако
при расширении понятия тригонометрических
функций ( см. далее ) эти углы также
рассматриваются. Символ
в
таблице означает, что абсолютное значение
функции неограниченно возрастает, если
угол приближается к указанному значению.
Чтобы построить всю тригонометрию, законы которой были бы справедливы для любых углов ( не только для острых, но и для тупых, положительных и отрицательных углов ), необходимо рассмотреть так называемый единичный круг, то есть круг, радиус которого равен 1 ( рис.3 ).
Проведём два диаметра:
горизонтальный AA’ и вертикальный BB’.
Будем отсчитывать углы от точки A (
начальная точка ). Отрицательныеуглы отсчитываютсяпо часовой стрелке,положительные–против. Подвижный
радиус OC образует угол
с неподвижным радиусом OA. Он может
быть расположен в 1-ой четверти ( COA ), во
2-ой четверти ( DOA ), в 3-ей четверти ( EOA )
или в 4-ой четверти ( FOA ). Считая OA и OB
положительными направлениями, а OA’ и
OB’ – отрицательными, мы определим
тригонометрические функции следующим
образом.
Линия синусаугла
( рис.4 ) - этовертикальныйдиаметр
единичного круга, линия косинусаугла
-горизонтальныйдиаметр единичного
круга.Синус угла
( рис.4 ) – это отрезок OB на линии синуса,
то есть проекция подвижного радиуса OK
на линию синуса;косинусугла
- отрезок OA линии косинуса, то есть
проекция подвижного радиуса OK на линию
косинуса. Знаки синуса и косинуса в
различных четвертях единичного круга
показаны на рис.5 и рис.6.
Линия тангенса( рис.7 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку Aгоризонтальногодиаметра.
Линия котангенса( рис.8 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку Ввертикальногодиаметра.
Тангенс– это отрезок линии тангенса между точкой касания A и точкой пересечения ( D, E, и т.д., рис.7 ) линии тангенса и линии радиуса.
Котангенс– это отрезок линии котангенса между точкой касания В и точкой пересечения ( Р, Q, и т.д., рис.8 ) линии котангенса и линии радиуса.
Знаки тангенса и котангенса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.9.
Секанс и косеканс определяются как величины, обратные соответственно косинусу и синусу.
Точки максимума и минимума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке. Определения. Примеры.
Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если
f(x2) > f(x1) при x2 > x1.
|
Рис.1 (а) |
|
Рис.1 (б) |
График возрастающей функции показан на рисунке 1(а).
Если из неравенстваx2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале ( a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет постоянное значение C
Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если
f(x2) < f(x1) при x2 > x1.
Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b ) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения x и y имеют разные знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б). Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2) f(x1), то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет постоянное значение C.
Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке. Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x2 минимум. Аналогично для точки x4.
Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x0).
Функция y=f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x0.
Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.
Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.
Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x1 имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x1. В частности, f(x1) < f(x4) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких к точке максимума.
Наибольшее и наименьшее значения функции- понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. Н. и н. з. ф. по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках называются экстремумами (соответственно максимумами и минимумами) функции. Непрерывная функция, заданная на отрезке, обязательно достигает на нём наибольшего и наименьшего значений; если же непрерывную функцию рассматривать на интервале (т. е. отрезке с исключенными концами), то среди её значений на этом интервале может не оказаться наибольшего или наименьшего. Например, функция у = x, заданная на отрезке [0; 1], достигает наибольшего и наименьшего значений соответственно при x = 1 и x = 0 (т. е. на концах отрезка); если же рассматривать эту функцию на интервале (0; 1), то среди её значений на этом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего, так как для каждого x0 всегда найдётся точка этого интервала, лежащая правее (левее) x0, и такая, что значение функции в этой точке будет больше (соответственно меньше), чем в точке x0. Аналогичные утверждения справедливы для функций многих переменных.
Множество точек на плоскости. Подмножества. Пересечение и объединение множеств.
Практическая часть
Дополнительные вопросы при ответе на билет.
Сделайте заключение о количестве корней трехчлена
,
если
и
удовлетворяют неравенству
Определить
,
если
,
,
где
и
- корни функции.Изобразите множество точек на координатной плоскости
Изобразите множество точек на координатной плоскости
Четные и нечетные функции. (№ 100)
,
Изобразить множество точек на координатной
плоскостиПостройте график функции
Постройте произвольный график функции и выполните преобразование
Постройте множество плоскости для которых
В отделе института работают несколько человек. Каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. 6- человек знает английский, 6- немецкий, семь французский, 4- знают английский и немецкий, 3- немецкий и французский. 2- французский и английский. 1- человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знает только английский язык? Только французский? Сколько человек знает ровно один язык?
Нормандское окно имеет форму прямоугольника, завершенное полукругом. Периметр окна равен а. каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?
На плоскости рОq изобразить множество точек для которых
х²+ (р-1)+ q +2 а) Имеет различные корни б) не имеет корней в) имеет один корень.
,
исследовать и построить график функции.
,
исследовать и построить график функции.
,
исследовать и построить график функции.Определите а так, чтобы сумма квадратов корней уравнения была наименьшей.
,
исследовать и построить график функции.