- •Математическое моделирование задач обработки навигационной информации
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Моделирование случайных величин и векторов и определение их статистических характеристик
- •Основные теоретические сведения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Оформление отчета
- •Контрольные вопросы
- •Методы оценивания постоянных параметров наблюдаемых сигналов
- •Основные теоретические сведения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Оформление отчета
- •Контрольные вопросы
- •Моделирование стационарных случайных процессов
- •Основные теоретические сведения
- •Пример выполнения задания
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Оформление отчета
- •Контрольные вопросы
- •Оптимальная фильтрация случайных процессов
- •Основные теоретические сведения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Оформление отчета
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
Моделирование стационарных случайных процессов
Цель работы: освоение методов моделирования случайных процессов с заданными спектрально-корреляционными свойствами.
Основные теоретические сведения
При моделировании систем управления и обработки информации важно уметь формировать модели внешних воздействий и ошибок измерений, представляемых, как правило, стационарными случайными процессами с заданными корреляционными функциями R() или спектральными плотностями S(). Как известно, данные статистические характеристики связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье:
Для того, чтобы получить стационарный процесс с заданными характеристиками, обычно используют метод формирующего фильтра [1], рассчитывая его таким образом, чтобы при подаче на вход фильтра процесса (t) типа белого шума его выходной сигнал y(t) обладал необходимыми свойствами. Отметим, что при моделировании марковских случайных процессов, характеризуемых спектральной плотностью дробно-рационального вида, формирующий фильтр будет линейным. Для получения передаточной функции Wфф(p) такого фильтра спектральную плотность процесса подвергают факторизации, т.е. представляют ее в виде произведения двух комплексно сопряженных сомножителей, все нули и полюса первого из которых лежат в левой полуплоскости, а второго – в правой:
Здесь предполагается, что интенсивность порождающего белого шума (t) равна единице.
Модель формирующего фильтра, заданная его передаточной функцией, может быть также представлена в форме пространства состояний [4]:
(13)
где x – вектор состояния фильтра; F – матрица динамики; G – матрица возмущений; H – матрица наблюдения.
Начальное состояние фильтра x(0) должно быть сформировано таким образом, чтобы обеспечить стационарность выходного процесса. Это условие выполняется, если ковариационная матрица P вектора состояния в начальный момент времени соответствует ее установившемуся значению, которое может быть найдено из матричного уравнения [5]
(14)
Заметим, что решение уравнения (14) может быть легко получено, если числитель дробно-рациональной спектральной плотности S() не зависит от . В этом случае процесс является n – 1 раз дифференцируемым, где n – порядок фильтра, так что переменные состояния могут быть выбраны равными соответственно выходному моделируемому процессу и его производным до (n – 1)-й включительно: x1 = y ; x2 = y˙, …, xn = y(n – 1). Действительно, в этом случае, как следует из вида функции S(), уравнение фильтра не будет содержать производных входного процесса, а n-я производная выходного процесса x˙n = y(n) может быть выражена через его младшие производные y, y˙, …, y(n – 1), т.е. непосредственно через переменные состояния x1, x2, …, xn. Таким образом, элементы матрицы P, удовлетворяющие условию (14), могут быть сформированы только лишь исходя из выражения для корреляционной функции моделируемого процесса.
К примеру, для фильтра второго порядка имеем y = x1; x˙1 = x2. В этом случае матрица ковариаций, соответствующая стационарному векторному процессу x(t), примет вид [3]
причем R(0) = R(+0) = R(–0), т.е. при вычислении производных достаточно для определенности положить > 0.
Соответственно, для фильтра третьего порядка y = x1; x˙1 = x2; x˙2 = x3;
Начальное состояние фильтра формируется в виде x(0) = C, где CCT = P, – центрированная случайная величина с единичной дисперсией. При этом если матрица P диагональная, матрица C будет также диагональной с элементами Cii = в противном случае для нахождения матрицы C можно воспользоваться, например, разложением Холецкого [6], которое реализуется в Matlab с помощью встроенной функции chol.
Поскольку при компьютерном моделировании случайный процесс неизбежно должен быть представлен своими дискретными отсчетами, от непрерывной модели (13) переходят к ее дискретному описанию [4]:
(15)
где wk – дискретный белый шум с дисперсией Q. Матрицы и следует определить из условия стохастической эквивалентности моделей (13) и (15), состоящей в совпадении математического ожидания и матрицы ковариаций вектора x(t), соответствующего непрерывной модели (13), с математическим ожиданием и матрицей ковариаций вектора xk, соответствующего дискретной модели (15), в моменты времени tk = kt, где t – период дискретности.
Поскольку матрица ковариаций Pk дискретной последовательности xk определяется с помощью рекуррентного соотношения [5]
а для матрицы ковариаций P(tk) непрерывного процесса x(t), t = tk, справедливо следующее соотношение, являющееся следствием формулы Коши [4]:
,
где () = eF – фундаментальная матрица системы (13), то условие стохастической эквивалентности может быть выполнено путем выбора матриц , и дисперсии Q в соответствии с соотношениями
= eFt ≈ E + Ft, (16)
(17)
Здесь E – единичная матрица.
На практике для нахождения и Q нередко используют различного рода приближенные процедуры. Так, в первом приближении (при малых t) eF ≈ E + F, и равенство (17) принимает вид
Полагая
= Gt (18)
(что совпадает с формулой первого приближения для кусочно-постоянных входных воздействий [4]), для дисперсии порождающего шума получим Q = 1/t.
Период дискретности t следует выбирать таким образом, чтобы он был много меньше самой малой постоянной времени формирующего фильтра: при формировании узкополосных процессов t << 1/, где – преобладающая частота процесса; при формировании широкополосных процессов t << 1/, где – ширина спектра.