6. Рекомендации к выполнению контрольной работы №4

Содержание контрольной работы №4: способом вспомогательных концентрических сфер построить линию взаимного пересечения поверхностей двух тел вращения (табл. 4). Определить видимость (образец выполнения задачи рис. 7).

Рассмотрим применение этого способа на примере (рис. 7).

Даны две фигуры вращения: конус и закрытый тор. Фигуры имеют одну общую плоскость симметрии λ(λ₁), которая является фронтальной плоскостью уровня (т.е.  П₁, || П₂). Оси симметрии, вокруг которых происходит вращение образующих линий фигур, пересекаются в точке О (О₂) под углом 90 . Таким образом, на лицо все признаки применения способа концентрических сфер.

Рисунок 7

В данном примере общая плоскость симметрии λ(λ₁) П₂. Поэтому высшие и низшие точки линии пересечения 1;3 и 2;4 получаются непосредственно в пересечении очерковых образующих. Все четыре точки легко определить на фронтальной плоскости проекций.

Все остальные точки линии пересечения находим с помощью вспомогательных сфер, которые будем проводить из точки О (О₂) - точки пересечения осей конуса и цилиндра. Причем, при нахождении точек пересечения следует помнить, что в данном случае мы имеем дело с проницанием, а это значит, что линий пересечения получится две, и так как фигуры расположены симметрично относительно друг друга, линии пересечения должны получиться также симметричными. Сферой наименьшего радиуса является сфера, вписанная в поверхность одного из пересекающихся тел. С поверхностью другого тела такая сфера должна пересекаться. В данном примере такая сфера вписывается в конус и пересекается с тором. Для того, чтобы определить радиус этой сферы, из точки О(О₁) на очерковую образующую линию опущен перпендикуляр. Эта сфера является соосной с поверхностью обоих тел, и потому она касается поверхности конуса и пересекается с поверхностью тора по окружностям, которые проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде прямых линий. Так как эти окружности принадлежат одной сфере, то они пересекаются в двух парах точек 5(5₂), 5'(5₂') и 6(6₂), 6' (6₂'), которые являются общими между поверхностями конуса и тора, а следовательно, располагаются на линии пересечения. Произвольные точки 7(7₂), 7'(7₂') и 8(8₂), 8'(8₂') определяем аналогично, с помощью концентрической сферы, радиус которой принимается произвольно несколько большим по сравнению с радиусом вписанной сферы.

Полученные точки соединяем в плавную кривую линию: сначала соединяем точки 1₂5₂=5₂'7₂=7₂'2₂, затем еще раз, стараясь, чтобы вторая кривая получилась симметрично первой, соединяем точки 3₂6₂=6₂'8₂=8₂'4₂. Так как ось симметрии тора расположена || П₁ и выше основания конуса, то плоскость этой оси для П₁ будет являться плоскостью смены видимости. Линии пересечения, пройдя через эту плоскость, на П₁ сменят видимость. Поэтому на оси симметрии необходимо отметить точки пересечения ее с линиями пересечения. Эти точки будут являться точками смены видимости (9₂=9₂' и 10₂=10₂')

Все полученные точки строятся на П₁ по принадлежности конусу. Для построения их на П₁ и соединяя их в линии, следует не забывать о смене видимости. Итак, левая линия - видимая часть 9₁5₁1₁5₁'9₁', невидимая - 9₁7₁2₁7₁'9₁'. Правая линия симметрична левой - видимая часть 10₁6₁3₁6₁'10₁' и невидимая часть 10₁8₁4₁8₁'10₁'. При решении задач способом концентрических сфер следует не забывать, что существуют особые случаи пересечения тел вращения (три теоремы).