10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

Коэффициент множественной детерминации равен:

Следовательно, регрессия y на x₁ и x ₂ объясняет 97% колебаний значений у. Это свидетельствует о значительном суммарном влиянии независимых переменных x₁ и x ₂ на зависимую переменную у.

Для того чтобы была возможность сравнивать модели с разным числом факторов так, чтобы число регрессоров (факторов) не влияло на статистику обычно используется скорректированный коэффициент детерминации, в котором используются несмещённые оценки дисперсий:

где n – количество наблюдений;

m – количество факторных признаков.

Получаем:

Данный показатель всегда меньше единицы, но теоретически может быть и меньше нуля (только при очень маленьком значении обычного коэффициента детерминации и большом количестве факторов). Поэтому теряется интерпретация показателя как «доли». Тем не менее, применение показателя в сравнении вполне обоснованно.

11. С помощью f -критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,95.

Качество уравнения также оценивается с помощью F-теста. Расчетное значение F-критерия:

В данном случае . Поэтому получаем:

Критическое значение F-критерия при уровне значимости и степенях свободы составит:

Т.к. , признается статистическая значимость уравнения регрессии.

12. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,99 величины валового дохода для предприятия, на котором стоимость основных фондов составляет 70 млн. руб., а стоимость оборотных средств - 100 млн. руб.

При , находим точечный прогноз:

млн.руб.

Интервальный прогноз среднего значения накоплений домохозяйств:

где - соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала;

- вектор независимых переменных;

- квантиль распределения Стьюдента (табличное значение);

– доверительная вероятность;

– количество степеней свободы.

Тогда ;

Пусть , тогда ;

Таким образом, при стоимости основных фондов 70 млн. руб. и стоимости оборотных фондов 100 млн.руб. с вероятностью 99% валовой доход попадет в интервал от 208,1 до 256,2 млн. руб.

13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию χ2. Сравнить полученные результаты.

Для проверки построенного уравнения множественного уравнения регрессии на мультиколлинеарность необходимо определить коэффициент парной корреляции между объясняющими переменными (расчеты коэффициента см. выше):

, что говорит о довольно сильной прямой зависимости между стоимостью основных фондов и оборотных средств.

Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля (значимости) проводится по схеме:

если ,

то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае – отвергается.

Здесь – уровень значимости (уровень доверия);

– количество степеней свободы;

- квантиль распределения Стьюдента (находится по таблицам).

Следовательно, коэффициент корреляции существенно не отличается от нуля и линейная связь между и отсутствует. Следовательно, можно сделать вывод об отсутствии мультиколлинерности между факторными признаками.

Проверим гипотезу о независимости объясняющих переменных с помощью критерия «хи-квадрат»:

Рассчитаем определитель матрицы коэффициентов парной корреляции:

Для данной задачи:

Фактическое значение статистики «хи-квадрат»:

где - количество наблюдений;

- число объясняющих переменных.

Число степеней свободы:

Получаем:

Табличное значение статистики для и равно . В этом случае выполняется неравенство:

следовательно, гипотеза о независимости объясняющих переменных подтверждается, можно сделать вывод об отсутствии мультиколлинеарности.

Ситуационная (практическая) задача №2

Динамика выпуска продукции за 1994-2008 гг. представлена в таблице.

Требуется:

1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.

2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.

3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,95.

4. Дать точечный и интервальный прогноз выпуска продукции на 2009 г. с надежностью 0,95.

На рис. 1 приведен график исследуемого временного ряда. По графику видно, что имеет место тенденция к увеличению выпуска продукции с течением времени.

Для выявления основной тенденции развития изучаемого явления и сезонных колебаний необходимо выявить соответственно трендовую и сезонную составляющую данного временного ряда.

Рис.1

Количественное измерение корреляции осуществляется посредством использования линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени:

Если сдвиг во времени составляет всего один шаг, то соответствующий коэффициент корреляции называется коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка. При этом лаг равен 1. Измеряется же зависимость между соседними уровнями ряда. В общем случае число шагов (или циклов), на которые осуществляется сдвиг, характеризующий влияние запаздывания, также называется лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.

Таблица 2.

Расчетная таблица для определения коэффициента автокорреляции

Год, t	Выпуск, у	Выпуск с лагом 1
1	16	21	90,09183673	133,8979592	60,61734694
2	21	18	70,87755102	43,18367347	116,3316327
3	18	20	84,09183673	91,6122449	77,18877551
4	20	21	58,94897959	57,32653061	60,61734694
5	21	35	-40,83673469	43,18367347	38,61734694
6	35	33	31,30612245	55,18367347	17,76020408
7	33	26	-15,12244898	29,46938776	7,760204082
8	26	24	7,520408163	2,469387755	22,90306122
9	24	31	-7,908163265	12,75510204	4,903061224
10	31	36	24,73469388	11,75510204	52,04591837
11	36	31	18,66326531	71,04081633	4,903061224
12	31	38	31,59183673	11,75510204	84,90306122
13	38	36	75,23469388	108,755102	52,04591837
14	36	33	35,52040816	71,04081633	17,76020408
Сумма	386	403	464,7142857	743,4285714	618,3571429
Среднее	27,57142857	28,78571429

Получаем:

Так как коэффициент автокорреляции первого порядка оказался высоким, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Проверка значимости коэффициента автокорреляции дает следующий результат:

По таблице распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область) с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=12 находим: Поскольку t_набл > t_крит, то принимаем гипотезу о значимости коэффициента автокорреляции, что, в свою очередь, подтверждает наличие сильной линейной тенденции.

Коэффициент автокорреляции 2-го порядка:

Таблица 3

Год, t	Выпуск, у	Выпуск с лагом 2
1	35	37	120,9467456	115,9763314	126,1301775
2	40	39	53,25443787	33,28402367	85,20710059
3	37	40	72,17751479	76,89940828	67,74556213
4	39	47	8,331360947	45,82248521	1,514792899
5	40	52	-21,74556213	33,28402367	14,20710059
6	47	45	-3,976331361	1,514792899	10,43786982
7	52	48	-1,437869822	38,82248521	0,053254438
8	45	50	-1,360946746	0,591715976	3,130177515
9	48	55	15,10059172	4,976331361	45,82248521
10	50	50	7,485207101	17,89940828	3,130177515
11	55	57	80,94674556	85,20710059	76,89940828
12	50	55	28,63905325	17,89940828	45,82248521
13	57	52	42,33136095	126,1301775	14,20710059
	45,76923077	48,23076923	400,6923077	598,3076923	494,3076923

Другими словами, коэффициент автокорреляции 1-го статистически значим, а коэффициент 2-го порядка нет, сезонная составляющая отсутствует.

Рассчитаем трендовую компоненту ряда динамики.

Т.к. исследование показало наличие линейной связи, опишем его уравнением прямой:

где - выровненные значения ряда;

- параметры уравнения тренда.

Упрощенный расчет параметров уравнения заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. Тогда система нормальных уравнений для расчета параметров уравнения тренда имеет вид:

Необходимые промежуточные расчеты приведены в таблице 4.

Таблица 4.

Расчетная таблица для нахождения параметров уравнения тренда

Номер года	Выпуск	t
1	16	-7	49	-112	18,406
2	21	-6	36	-126	19,767
3	18	-5	25	-90	21,128
4	20	-4	16	-80	22,489
5	21	-3	9	-63	23,85
6	35	-2	4	-70	25,211
7	33	-1	1	-33	26,572
8	26	0	0	0	27,933
9	24	1	1	24	29,294
10	31	2	4	62	30,655
11	36	3	9	108	32,016
12	31	4	16	124	33,377
13	38	5	25	190	34,738
14	36	6	36	216	36,099
15	33	7	49	231	37,46
Сумма	419	0	280	381	418,995

Таким образом, получаем:

Уравнение тренда имеет вид:

Коэффициент детерминации: .

Фактическое значение F-статистики Фишера

При уровне значимости 0,05 табличное значение .

Т.к. , то признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Расчетные (выровненные) значения временного ряда по уравнению тренда приведены в табл. 4.

Прогнозное значение выпуска на 2009 г (t=8):

ед.

Таким образом, прогнозное значение выпуска на 2012 г составляет 59 ед.

Интервальный прогноз:

, рассчитаем

,

, где . Т.е.

Т.е. с надежностью 95% объем выпуска в 2012 г . составит (33,647;43,995) единиц

Рис. 2. Исходные данные и линия тренда