KursRab_A_13_11__001

Задания курсовых работ для группы А 13 11

Часть I Алгебраические задачи

1. Обращение матрицы (LU - разложение)

Мухина Марина

Исследовать зависимость числа обусловленности матрицы cond 1(A) îò åå ïî- рядка m.

Элементы матрицы задаются выражением

где m порядок матрицы, c произвольный параметр.

1.Реализовать алгоритм LU-разложения квадратной невырожденной матри-

öû.

2.Реализовать (отдельной процедурой) LU-разложение с полным выбором главного элемента.

3.Реализовать алгоритм поиска обратной матрицы, решая m систем уравне-

íèé Axj = ej, ãäå xj è ej столбцы обратной и единичной матриц соответствен-

íî.

4. Построить график зависимости числа обусловленности матрицы от m в диапазоне m 2 [2; 106]. Предусмотреть возможность использования логарифмического масштаба по оси m.

5. Построить графики зависимости времени поиска обратной матрицы от ее порядка в случае выбора главного элемента и без него (в одном координатном пространстве).

2

2. Обращение матрицы (QR - разложение)

Кошкин Максим

Исследовать зависимость числа обусловленности матрицы cond 1(A) îò åå ïî- рядка m.

Элементы матрицы задаются выражением

>

:

где m порядок матрицы, c произвольный параметр.

1.Изучить алгоритм QR-разложения квадратной невырожденной матрицы [1, 5.10] с использованием вращений Гивенса и реализовать его.

2.Реализовать алгоритм поиска обратной матрицы, решая m систем уравне-

íèé Axj = ej, ãäå xj è ej столбцы обратной и единичной матриц соответствен-

íî.

3. Построить график зависимости числа обусловленности матрицы от m в диапазоне m 2 [2; 106]. Предусмотреть возможность использования логарифмического масштаба по оси m.

5. Построить графики зависимости времени поиска обратной матрицы от ее порядка.

3

3. Дискретное преобразование Фурье

Конырев Дмитрий

Исследовать практически точность тригонометрической интерполяции функций.

1.Изучить постановку задачи тригонометрической интерполяции [1, 5.10].

2.Изучить алгоритм быстрого дискретного преобразования Фурье (БДПФ) [1, 5.10] и реализовать его для случая числа узлов, являющегося степенью двойки.

3.Реализовать алгоритмы прямого и обратного преобразования Фурье (используя БДПФ) некоторой таблично заданной функции. Табулируемая функция задается в коде программы (и изменяется там же с последующей перекомпиляцией).

4.Реализовать процедуру поиска погрешности интерполяции функции f(x)

åå"дискретным рядом Фурье"S(x) на всем отрезке интерполяции

= max jf(x) S(x)j.

x2[a;b]

5.Построить таблицу (h) зависимости погрешности интерполяции тестовых функций от шага сетки h.

6.Используя метод наименьших квадратов, определить, какая из целочисленных степеней шага h наилучшим образом соответствует полученной в п. 5.

зависимости (иными словами, выяснить, при каком значении степени p вели- чина C hp аппроксимирует функцию (h) с наименьшим среднеквадратичным уклонением).

4

Часть II

Простейшие дифференциальные задачи и модели

4. Генерация таблицы функции ошибок

Чернозатонская Анастасия

Функция ошибок задается выражением

которое не выражается в элементарных функциях. Для вычисления ее значения в точке x можно также использовать эквивалентную задачу Коши

>

<

>

:y(0) = 0:

1.Доказать эквивалентность задач (1) и (2) (т.е. доказать, что любое решение задачи (1) является также рещением задачи (2) и наоборот).

2.Протабулировать функцию erf (x) на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.1, вычисляя

интеграл (1) методом Симпсона с некоторой точностью ".

3.Протабулировать функцию erf (x) на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.1, решая задачу Коши (2) методом Рунге Кутты 4-го порядка с той же точностью ".

4.Сравнить время выполнения пп. 2 и 3.

5.Построить график зависимости времени табулирования от точности " в том

èдругом случае.

6.Найти с точностью = 10 6 корень уравнения erf(x) = 0:5

7.При выводе таблицы значений функции ошибок округлять полученные зна- чения в соответствии с точностью.

5

5. Задача трех тел.

Коц Руслан

Движение малого тела (материальной точки) по орбите около двух массивных тел описывается системой дифференциальных уравнений

Уравнения записаны во вращающейся системе координат, связанной с вращением одного массивного тела вокруг другого так, что оба являются в ней неподвижными. Начало координат находится в центре масс двух тяжелых тел. Ось проходит через их центры, а расстояние между телами принимается за единицу. Если обозначить за отношение масс менее и более массивного тела,

то эти тела будут расположены в точках с координатами (1 ; 0) и ( ; 0) соответственно. (Выше приведенно значение для системы Земля Луна.) Положение третьего тела (материальной точки) есть функции времени x(t), y(t), являющиеся решением приведенной системы ОДУ.

1.Реализовать адаптивную процедуру на основе метода Рунге-Кутты 4 порядка для решения поставленной задачи Коши с указанной пользователем точ- ностью.

2.Построить графики решения x(t), y(t), а также фазовый портрет (в пере-

менных x, y) при начальных данных x(0) = 1:2, x0(0) = 0, y(0) = 0, y0(0) =

1:04935751.

3. Подготовить несколько тестовых примеров. Для облегчения построения тестового примера в каждое из уравнений следует ввести правую часть. Изобразить на одном чертеже графики точного и приближенного решений.

6

6. Затухающие колебания.

Демкин Станислав Многие колебательные системы с затуханием можно описать следующим мо-

Здесь ! циклическая частота колебаний, коэффициент затухания. (Про-

стейший пример такой системы движение грузика на пружине в горизонтальной плоскости по негладкой поверхности. Последнее слагаемое в уравнении в

этом случае есть сила трения, х отклонение от положения равновесия.) Данное уравнение дополняется начальными значениями x(0), ddxt (0).

1.Вывести расчетные формулы явного и неявного методов Адамса 3-го порядка. На их основе построить метод типа "предиктор-корректор".

2.Решить поставленную задачу Коши методом "предиктор-корректор"из п. 1 для значений параметров ! = 3, x(0) = 1, ddxt (0) = 0 и нескольких значений

âдиапазоне от 0 до 8. Построить графики зависимости отклонения и скорости

от времени.

3.Определить функцию G( ), которая принимает значение 1, если переход

êположению равновесия происходит монотонно (т.е. отсутствуют колебания решения), и 0 в противоположном случае. Протабулировать эту функцию (с заданным пользователем шагом) на отрезке 2 [0; 8].

4.Предложить и реализовать алгоритм автоматического поиска точки разрыва этой функции.

7

7. Автоколебания в хмимческих реакциях.

Шахов Илья

Модель Лефевра Николиса описывает колебательные процессы в следующей цепочке химических реакций

A ! X;

B + X ! Y + D;

2X + Y ! 3X;

X ! E:

Предполагается, что концентрации веществ A, B, D, E остаются постоянными и все реакции необратимы. Тогда изменение концентрации x и y реагентов X и Y будет описываться следующей системой ОДУ

8

>

>dx = a (b + 1)x + x2y;

<

dt

>

>dy = bx x2y;

:

dt

Здесь a и b концентрации исходных веществ A и B соответственно.

1.Вывести расчетные формулы метода Рунге-Кутты 3-го порядка точности

ñпараметрами 1 = 0, 2 = 0:2, 3 = 0:4.

2.С помощью построенного метода найти численное решение задачи Коши при различных начальных данных и различных значениях коэффициентов.

3.Построить графики зависимости решения x(t) и y(t), а также фазовый

портрет системы (в переменных x, y).

4.Подготовить несколько тестовых примеров. Для облегчения построения тестового примера в каждое из уравнений следует ввести правую часть. Изобразить на одном чертеже графики точного и приближенного решений.

5.Предложить и реализовать алгоритм автоматического поиска периода функ-

öèè x(t).

8

8. Динамика популяций "хищник жертва".

Остапенко Дмитрий

Модель Холлинга Тэннера описывает взаимодействие популяций хищников и жертв и представляет собой следующую систему ОДУ.

:

Здесь x, y численность популяций жертв и хищников, J количество жертв, необходимое для насыщения одного хищника, r, K, S, D коэффициенты прироста и внутривидового влияния. Все коэффициенты положительны.

1.Найти (аналитически) стационарные решения системы.

2.Вывести расчетные формулы метода Рунге-Кутты 3-го порядка точности

ñпараметрами 1 = 0, 2 = 0:4, 3 = 0:5.

3.С помощью построенного метода найти численное решение задачи Коши при различных начальных данных и различных значениях коэффициентов с

заданной точностью ".

4. Построить графики зависимости решения x(t) и y(t), а также фазовый портрет системы (в переменных x, y). Также обозначить на графиках стационарное решение.

5.Подготовить несколько тестовых примеров. Для облегчения построения тестового примера в каждое из уравнений следует ввести правую часть. Изобразить на одном чертеже графики точного и приближенного решений.

6.Изобразить на плоскости (X0; Y0) начальных значений численности попу-

ляций (x(0) = X0, y(0) = Y0) примерную границу области, внутри которой изменения численности носят периодический характер.

9

9. Динамика конкурирующих популяций.

Мазаева Элина

Динамика численности двух видов, потребляющих (конкурирующих за) один и тот же ресурс, описывается следующей системой дифференциальных уравне-

популяций,

коэффициент, описывающий внутривидовое влияние, ai коэффициент, описы- вающий влияние со стороны другого вида. Все коэффициенты положительны.

1.Вывести расчетные формулы метода Рунге-Кутты 3-го порядка точности

ñпараметрами 1 = 0, 2 = 0:6, 3 = 1.

2.С помощью построенного метода найти численное решение задачи Коши при различных начальных данных и различных значениях коэффициентов ri,

ki, ai.

3.Построить графики зависимости решения x(t) и y(t), а также фазовый портрет системы (в переменных x, y).

4.Подготовить несколько тестовых примеров. Для облегчения построения тестового примера в каждое из уравнений следует ввести правую часть. Изобразить на одном чертеже графики точного и приближенного решений.

5.Изобразить на плоскости (X0; Y0) начальных значений численности попу-

ляций (x(0) = X0, y(0) = Y0) примерную границу области, внутри которой

численность первой популяции стремится со временем к нулю (популяция вымирает).

10

10. Концентрация озона в атмосфере.

Фитискин Иван

Генерация и распад трехатомного кислорода (озона) в нижних слоях тропосферы осуществляется по следующей схеме.

времени t. Их изменение со временем описывается следуюшей системой ОДУ, для которой ставится задача Коши.

>

>

>

>

:

1.Найти решение с помощью явного и неявного методов Эйлера, оценить погрешность (по Рунге) полученных решений.

2.Вывести графики зависимости решения x(t), y(t), z(t).

3.Подготовить несколько тестовых примеров. Для облегчения построения тестового примера в каждое из уравнений следует ввести правую часть. Изобразить на одном чертеже графики точного и приближенного решений.