Лекция 2ЭТ
.pdf
Лекция 2
Топологические уравнения и матрицы электрических цепей. Граф электрической цепи и его основные подграфы
Граф электрической цепи – условное изображение электрической цепи, при котором каждая ветвь заменяется отрезком линии.
Ветвь – часть цепи между двумя узлами.
При построении графа участки с ЭДС закорачиваются, а участки с источниками тока разрываются.
nв 6 nу 4
Основные подграфы
Дерево графов – часть графа, включающая в себя все узлы, но ни одного замкнутого контура.
несколько вариантов деревьев
Контур – часть графа, составляющая замкнутую последовательность ветвей.
Ветвь связи – ветвь, которая дополняет дерево до исходного графа.
nд ny 1 - число ветвей дерева,
nвс nв nд пв (nу 1) – число ветвей связи.
Главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи.
I главный контур: 4 - 5 – 1
II главный контур: 2 - 6 – 5
III главный контур: 3 - 4 – 6
рис.1
Топологические матрицы
1). Узловая матрица.
|
|
1 2 |
nв |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
AH [aij ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ny |
|
|
aij |
0, если |
|
j я ветвь не присоединена к i у узлу. |
|||||||
aij |
1, если |
|
j я ветвь присоединена к i у узлу и направлена от узла. |
|||||||
aij |
1, если |
j я ветвь присоединена к i у и направлена к узлу. |
||||||||
Применительно к рисунку 1. |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
AН |
2 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Матрица неопределенная, так как сумма |
|
|
3 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
элементов в любом столбце равна нулю. |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
AН iв 0 – |
|
|
|
|||
iв 2 |
|
|
1-й закон Кирхгофа в матричном виде. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
inв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система алгебраических уравнений, соответствующая матричному, является системой зависимых уравнений, так как любое уравнение в ней является комбинацией других уравнений.
Для получения ЛНУ один из узлов схемы принимается за базовый, то есть его потенциал принимают равным нулю. Тогда узловая матрица составляется для всех узлов, кроме базового.
Обозначение:
|
1 2 |
nв |
1 |
|
|
A 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ny1 |
|
|
A iв 0 – 1-й закон Кирхгофа для ЛНУ.
Определим связь между напряжениями ветвей и потенциалом узлов.
|
|
U1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
U в |
|
в |
|
|
U в AT |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
nв |
|
|
|
|
|
|
|
ny 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U1 |
|
0 |
0 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
2 |
|
0 -1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
U3 |
|
0 1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
U |
4 |
|
-1 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
U5 |
|
1 |
|
0 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
U |
|
|
|
1 |
|
-1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U1 3 0 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2). Контурная матрица. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
nв |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B [bij |
] |
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nГк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bij |
0, если |
j я ветвь не входит в i й главный контур. |
|||||||||||||
bij |
1, если |
j я ветвь входит в i й контур и её направление совпадает с обходом |
|||||||||||||
i -го контура. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
bij |
1, если |
j я ветвь входит в i й контур и её направление не совпадает с |
|||||||||||||
обходом i -го контура. |
|
|
|||||||||||||
nГК пВС пВ (пУ 1)
|
1 2 3 |
4 |
5 |
6 |
|
||
I |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
|
||||||
B II |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
III |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матричная запись 2-о закона Кирхгофа: B U в 0
3). Матрицы сопротивлений и проводимости ветвей.
Квадратная диагональная матрица на главной диагонали которой стоят элементы, соответствующие сопротивлению (проводимости) ветвей.
r1 |
0 |
g1 |
0 |
||
|
r2 |
|
|
g2 |
|
Rв |
|
Gв |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
rnв |
|
0 |
gnв |
Матрица-столбец напряжений на резисторе.
Ur1
Urв Ur1
Urnв
Urв Rв iв iв = Gв Urв
Закон Ома для обобщенной ветви
Urk rk irk
Ue ek
Запишем 1-й закон Кирхгофа для узла.
ik Jk irk 0 ik irk Jk
irk gk Urk , Urk Uk ek
i g |
(U |
|
e ) J |
|
|
|
||||
k |
k |
|
|
k |
|
k |
|
k |
|
|
Uk rk (ik Jk ) ek |
|
|
|
|||||||
J1 |
|
|
|
|
e1 |
|
|
|||
|
J |
|
|
|
|
eв |
e |
|
|
|
J в |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jnв |
|
|
|
enв |
|
|
||||
iв Gв |
U в |
eв |
J |
в |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U в Rв iв J в eв |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полная система уравнений цепи |
A iв 0 |
|
ny |
1 – 1-й закон Кирхгофа |
|||||||
B U в |
0 |
nв |
ny |
1 |
– 2-й закон Кирхгофа |
|||||
U в Rв iв |
Rв J в |
eв |
n – закон Ома |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
2 nв - количество неизвестных (токи и напряжения). |
||||||||||
|
|
|
|
|
Уравнения Кирхгофа с записью источников в явном виде |
|||||
A iв 0 , |
|
iв |
irв J в |
A irв J в 0 A irв A J в – 1-й закон Кирхгофа |
||||||
B U в |
0 , U в U в |
eв B U в B eв – 2-й закон Кирхгофа |
||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
Пример 1.
Составить граф цепи, выбрать дерево и главные контура.
Составить матрицы A, B, Rв .
Записать уравнения Кирхгофа и закон Ома в матричной форме.
Узел 1 – базовый 1 0
Дерево – 2 и 4 ветви.
I главный контур – 1-2
II главный контур – 2-3-4
III главный контур – 4-5
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
A 2 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J |
J |
3 |
|
iв |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
i4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
i5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A iв |
|
1 |
1 |
1 0 0 |
|
|
i2 |
|
|
|
i1 i2 i3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 0 1 1 1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
i3 i4 i5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
A J в |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
J |
3 |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
J |
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
J3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A iв A J в – 1-й закон Кирхгофа в явном виде
i1 i2 i3 J3i3 i4 i5 J3
Контурная матрица:
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
|
|
E1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 |
|
|
0 |
|||||||
B I |
|
|
1 |
1 0 |
|
0 0 |
|
|
|
|
в |
|
Eв |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
U |
U |
3 |
|
0 |
||||||||||
|
II |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
U4 |
|
|
E4 |
|||||||||
III |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
U5 |
|
|
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B U в |
B Eв – 2-й закон Кирхгофа. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 0 |
0 0 |
|
|
U2 |
|
U1 U |
2 E1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
B U |
в |
|
0 1 1 |
1 0 |
|
|
U3 |
|
2 U3 U4 E4 |
|||||||||||
|
|
U |
||||||||||||||||||
|
|
|
0 0 0 1 1 |
|
|
|
U4 |
|
U4 U5 E4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
UR |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
R2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
UR |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Rв |
0 |
0 |
R3 |
0 |
0 |
|
U вr |
UR3 |
|
0 |
0 |
0 |
R4 |
0 |
|
|
UR |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
R5 |
|
|
UR |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
U в Rв iв Rв (irв J в ) Eв – закон Ома.
Пример 2
Самостоятельно выполнить то же, что и в примере 1.
Основные принципы и теоремы теории электрических цепей
I. Принцип суперпозиции (метод наложения)
Ток (напряжение) в любой ветви от действия нескольких источников в электрической цепи равно сумме токов (напряжений) в этой ветви, от действия каждого из этих источников в отдельности.
Принцип справедлив только для линейных электрических цепей, которые описываются линейными уравнениями.
A I в |
A J в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
r |
|
|
|
|
A I в |
A J в |
|
|
A |
|
||||
в |
|
|
|
в |
|
в |
|||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
||||||
B Ur |
|
B E |
|
|
|
в |
I |
в |
B E |
в |
|
в |
Ir |
||
в |
|
|
в |
в |
|
B R |
|
r |
|
B R |
|
||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ur |
|
Ir |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
0 |
J в |
|
|
||
|
0 |
|
|
в |
|
Irв |
|
B |
E |
|
|
|
|
|
A 1 |
A 0 |
J в |
|
Irв |
||
|
в |
|
0 |
|
в |
|
|
B R |
|
B |
E |
|
|
||
J в |
|
|
A 1 |
A 0 |
||
H в |
|
, где H |
в |
|
0 |
. |
E |
|
B R |
|
B |
||
В H число строк nв , число столбцов 2nв .
I
I
I
J1
r1
J
rj H En
1
rnв Ernв
Запись тока и напряжения ветви по методу наложения:
Irj |
|
|
|
i |
|
|
i |
|
i |
J |
|
I , |
k |
i |
J |
|
I |
||||
k j1J1 |
k j 2 J2 ... g j1E1 g j 2 E2 ... g jj E j ... где k |
j1 |
1 |
j 2 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Urj rj |
|
|
rj1J1 rj 2 J2 ... kuj1E1 k uj 2 E2 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Irj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение коэффициентов метода наложения |
|
|
|
|
|
|||||
ki |
|
Irj |
|
|
|
|
|
– коэффициент передачи по току из i -й ветви в |
j -ю ветвь при |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ji |
|
|
|
Ji |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ji 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
условии, что все источники, кроме Ji , равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
g |
|
|
|
Irj |
|
|
|
– взаимная проводимость между i -й и |
j -й ветвью, при условии, что |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ji |
|
Ei |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
E 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
все источники, кроме Ei , равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
g |
|
|
Irj |
|
|
– собственная (входная) проводимость j -й ветви, при условии, что все |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
jj |
E j |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
E |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
источники, кроме E j , равны нулю.
Как изображать источники, равные нулю:
E 0
r
J 0
Способ расчёта цепи с помощью метода наложения
Исключаются все источники электрической цепи, кроме одного, определяется ток от действия этого источника. Исключают следующие источники, рассчитывают следующие составляющие тока и так далее.
|
|
n ист |
|
Irj , Irj ,..., Irj |
|
||
|
|
|
|
Irj |
Irj |
Irj |
n ист |
... Irj |
|||
Замечания:
1). gij g ji - принцип взаимности, rij rji .
2). Коэффициенты rij , rjj - взаимное, собственное сопротивление, а также k uji рассчитываются абсолютно аналогично.
Пример 3
Дано: E1=24 B E3=12 B J5=2 A
R1=R2=6 Ом R3= 3 Ом R4=12 Ом R5=4 Ом
Найти: I3, g31, g33, k35i
1) Рисуем схему при действии E1:
R |
R4 R5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
э |
R5 R5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
I ' |
E |
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
R |
|
|
|||||
3 |
|
1 R |
R (R R ) R (R R ) |
|||||
|
|
1 |
2 |
1 3 э |
2 3 э |
|||
|
|
|
I ' |
|
|
|
|
|
R |
|
|
g |
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|||
31 |
E1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
E 0,E 0,J |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
||
2) Рисуем схему при действии E3:
g33 - входная проводимость относительно Е3 =>
g |
|
|
1 |
|
|
|
|
33 |
R33 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
E 0,J |
0 |
|||
|
|
|
1 |
5 |
|
||
R33 R3 R4 || R5 R1 || R2 |
|||||||
g |
|
|
1 |
|
|
|
|
33 |
|
|
|
||||
|
|
R33 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
I3" g33 E3
3) Рисуем схему при действии источника J5:
Rэ1 R4 || R5
Rэ2 R1 || R2
I ''' |
J |
|
|
|
|
Rэ1 |
|
|
|
||
|
|
|
R |
|
|
||||||
3 |
|
|
5 |
|
R |
R |
|
||||
|
|
|
|
|
|
э1 |
3 |
э2 |
|
||
ki |
|
I ''' |
|
|
|
|
|
R |
|
||
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
э1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
35 |
|
J5 |
|
|
|
|
|
Rэ1 R3 Rэ2 |
|
||
|
|
|
|
J |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
I3 I3' I3'' I3'''
I3 g31 E1 g33 E3 k35i J5
Пример 4 (самостоятельно.
Дано:
E1=10 B
R1=6 Ом
R2=4 Ом J2=2 A
Найти: I2
II. Принцип компенсации
Токи во всех ветвях схемы не изменятся, если j -ю ветвь с известным током I j и напряжением U j заменить или источником ЭДС E U j , или источником тока
J I j . При этом величина источников становится зависимой от величины тока в ветви.