lektsii_sopromat_6-10

Лекция 6.

Статически неопределимые задачи при растяжении стержней

Понятие о статически неопределимых системах

Системы, внутренние усилия (продольная сила) в которых не могут быть определены только из уравнений статики, называются статически неопределимыми.

Пример 1.

1.1.статически определимая система: Nz = P

1.2.статически неопределимая система:

Уравнений статики – одно, количество неизвестных – два - R1, R2.

Пример 2.

2.1.Система статически определима (две неизвестные)

2.2.Задача статически неопределима (три неизвестные)

Пример 3.

3.1. Система статически определима (три неизвестные)

3.2. Задача статически неопределима (четыре неизвестные) Уравнений статики – три: прx 0; прy 0; mom 0

Степенью статической неопределимости называется разность между количеством неизвестных опорных реакций и числом уравнений статики для рассматриваемой системы.

Другими словами: система называется n раз статически неопределенной, если число опорных реакций превышает число независимых уравнений статики на n единиц.

Вычисление усилий в простых статически неопределимых стержневых системах

Вычисление опорных реакций (или как говорят, раскрытие статической неопределимости) возможно только путем составления дополнительных уравнений, связывающих неизвестные усилия. Эти дополнительные уравнения отражают особенности геометрических связей, наложенных на систему, и называются уравнениями совместности деформаций.

Пример 4. Рассмотрим задачу вычисления опорных реакций для примера

1.2.

Запишем уравнение статики: P R1 R2 0

Далее запишем уравнение совместности деформаций, которое выражает тот факт, что общая длина стержня не изменяется l 0, хотя разные участки стержня деформируются. А именно, левая часть стержня растягивается, а правая часть – сжимается. Вычислим удлинение стержня согласно формуле

Пример 5. Рассмотрим задачу вычисления опорных реакций для примера

2.2.

Уравнения статики:

Уравнение совместности деформаций в данной задаче состоит в том, нижний узел под действием нагрузки переместится вертикально вниз и все стержни в результате деформации сходятся в одной точке. Для определения удлинений всех стержней изобразим так называемую диаграмму деформирования.

Здесь:А0 - начальное положение нижнего узла системы, А1 - положение точки А0 после приложения нагрузки.

Запишем геометрические соотношения между перемещениями стержней.

l2 l3 cos(2 ) .

И выразим перемещения стержней через усилия

Решая уравнения (*) и (**), определим усилия в стрежнях

Пример 6. Рассмотрим задачу вычисления опорных реакций

Для системы параллельных стержней можно составить два уравнения ста-

тики

прy N1 N2 N3 0 ,

momA N2 a N3 3a 0 .

Вкачестве третьего уравнения составим уравнение совместности деформаций, которое следует из диаграммы деформирования

Перепишем это выражение через усилия, действующие в стержнях

Решая совместно, полученные три уравнения найдем усилия в стержнях.

Замечание: Усилия в стержнях желательно согласовывать по направлению с направлением деформации. В этом случае удлинения стержней в уравнениях совместности деформаций берутся по абсолютной величине.

Особенности расчета статически неопределимых систем

1. Распределения усилий в стержнях зависит от жесткости стержней, а именно, чем больше жесткость стержня, тем большее усилие воспринимается этим стержнем.

Пример.

Из уравнения совместности деформации l 0 следует

R2 a ( R2 P) a 0 .

EF E (nF )

Решив полученное выражение относительно R2, получим

где – целое число.

2. В статически неопределимых системах при температурном воздействии возникают напряжения в стержнях (температурные напряжения).

Пример. Стержень, имевший начальную температуру T0 , нагрет до температуры T, то есть T = T – T0. Перемещение стержня при нагревании вычисляется по формуле

lt T l .

Так как силовых нагрузок нет, то все уравнения статики удовлетворяются тождественно - R1 R2 R . Уравнение совместности деформаций остается прежним - l lT R 0 . Перепишем его в виде

T l R l 0 .

E F

Отсюда видно, что в стержне возникают сжимающие усилия

R T E F .

Температурные напряжения даже не при сильном нагреве достигают значительных значений. Так при 12.5 10 6 град-1, E 2 1011 Н, T 50 0С напря-

жения FR 12.5 106 Па, что соизмеримо с допускаемыми напряжениями для

стали.

3. Возникновение так называемых монтажных напряжений в стержнях при неточности изготовления отдельных элементов системы и необходимости производить их сборку с применений усилий.

Пример. В приведенной ниже системе средний стержень изготовлен короче на величину δ.

Уравнения статики имеют вид

прy N1 N2 N3 0 ,

momA N2 a N3 2 a 0 .

Уравнения совместности деформаций запишем из приведенной ниже диаграммы деформирования

Решая совместно уравнения статики и уравнение совместности деформаций, найдем усилия в стержнях как функции монтажного зазора δ.

Общий метод вычисления реакций в опорах в статически неопределимых системах. Метод сил.

Алгоритм расчета:

1.Вычисляется степень статической неопределенности.

2.Выбирается так называемая основная система, которая получается из исходной путем отбрасывания лишних связей ( j 1...J ) и заменой их неизвест-

ными X1 , X 2 ,..., X J .

Основная система должна удовлетворять основным свойствам: а) должна быть статически определимой, б) должна быть статически неизменяемой,

в) должна быть мгновенно статически неизменяемой.

3.Основная система нагружается только активными внешними нагрузками (то есть не учитываются усилия Хj ). Вычисляются из уравнений статики усилия

встержнях N1 p, N2 p ,..., N Kp где К множество стержней в основной системе.

4.Основная система нагружается последовательно усилиями

X j 1, j 1, 2,..., J и вычисляются соответствующие этим единичным нагрузкам усилия в стержнях основной системы N j j 1,..., J , которые тоже называются

единичными. Здесь J –количество лишних связей.

5. Составляются канонические уравнения метода сил

J

ij X j jp 0 j 1, 2,..., J ,

i 1

которые можно записать в развернутом виде

11 X1 12 X 2 13 X 3 ... 1n X n 1 p 021 X1 22 X 2 23 X 3 ... 2n X n 2 p 0

………………………………………..

n1 X1 n2 X 2 n3 X 3 ... nn X n np 0 .

Коэффициенты ij называются единичными перемещениями, и определяют

единичное перемещение в направлении i- го неизвестного от действия единичного усилия X j 1 в основной системе и вычисляются по формулам