Конспект_ИЭЭ_14

250

этом участке, то импеданс Z – это коэффициент пропорциональности между амплитудным значением тока и амплитудным значением напряжения на клеммах участка цепи, т. е. вынуждающей ЭДС.)

Выразим полное сопротивление цепи, а также сдвиг фаз между зарядом конденсатора и вынуждающей ЭДС через параметры R, L, C:

251

Лекция 31

3.13.3. Вынужденные колебания (продолжение)

Амплитуды силы тока в цепи и заряда конденсатора

Обобщим сказанное в этом разделе и проанализируем, как изменяется ток и напряжения на разных элементах цепи.

1.Заряд конденсатора:

q t q0 cos Ωt θ .

2. Ток в цепи:

3. Напряжение на резисторе:

Отношение амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде тока

– ёмкостное сопротивление.

5. Напряжение на катушке индуктивности:

UL t Es L dtdI q0Ω2Lcos Ωt θ .

Амплитуда напряжения на катушке

UL0 q0Ω2L.

Отношение амплитуды напряжения на катушке к амплитуде тока

252

Полное сопротивление цепи (30.14) можно выразить через ёмкостное и индуктивное сопротивление:

Демонстрация: Роль катушки индуктивности в цепи переменного тока

Найдём, при какой циклической частоте вынуждающей ЭДС амплитуды силы тока в цепи и заряда конденсатора будут максимальны. Условие экстремума

Графики зависимостей I0(Ω) (при разных сопротивлениях) и q0(Ω) представлены на РИС. 31.1А, Б.

Мощность переменного тока по закону Джоуля-Ленца

Здесь мы воспользовались формулой тригонометрии

cosαcosβ 12cos α β 12cos α β .

Усредним выражение (31.1) по времени:

Рис. 31.2

Пусть в пространстве (однородной, изотропной, неферромагнитной среде с относительной электрической и магнитной проницаемостями ε, μ) существует переменное электрическое поле. Свободные заряды и макротоки отсутствуют. Напряжённость электрического поля направлена вдоль оси y и изменяется только вдоль оси x (РИС. 31.2):

При этом магнитная индукция будет направлена вдоль оси z:

B Bz .

Мысленно выделим в пространстве прямоугольные контуры 1234 в плоскости xy

L1456

– волновое уравнение для Ey.

Возьмём производную от уравнения (31.7) по x, а от уравнения (31.4) – по t. Аналогично получим

– волновое уравнение для Hz.

Общий вид волнового уравнения (для плоской волны)

где v – скорость распространения бегущей волны. Сравнивая с этой записью уравнения (31.8) и (31.9), видим, что

– скорость распространения электромагнитных волн; в вакууме

v cεμ .

256

Напряжённости электрического и магнитного полей подчиняются одному и тому же уравнению. Это означает, что переменное электромагнитное поле может существовать только в виде бегущей волны.

аналогично для Hz. Вид функций f1 и f2 определяется начальными условиями.

Решение волнового уравнения (без обратной волны)

Ey f x vt , Hz g x vt .

Подставим это решение в (31.7). Для этого найдём производные

Из (31.7) получим

257

Лекция 32

3.14.2. Монохроматическая волна как решение волнового уравнения

Пусть источник волны создаёт возмущение Ey(0, t) = E0ycos(ωt + φ0). При этих начальных условиях решение волнового уравнения (31.8) и (31.9) будет иметь вид

– уравнение плоской бегущей монохроматической электромагнитной волны

(без обратной волны). «Мгновенная фотография» монохроматической электромагнитной волны изображена на РИС. 32.1.

Характеристики монохроматической волны

E0y, H0y – амплитуда; Φ = ωt – kx + φ0 – фаза;

v – скорость распространения волны; ω – циклическая частота; φ0 – начальная фаза;

λ vT 2ωπv νv 2kπ – длина волны.

Ey

O x

Hz

Рис. 32.1. «Мгновенная фотография» монохроматической электромагнитной волны

Уравнение монохроматической электромагнитной волны при произвольной форме волнового фронта:

258

магнитного полей связаны между собой соотношением

[ср. (31.10)].

3.14.3. Энергия электромагнитной волны

Плотность потока энергии – энергетическая характеристика волны – энергия, которую волна переносит в единичный промежуток времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны: