Конспект_ИЭЭ_14

130

2. Физический маятник

Физический маятник – твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через

точки этого тела, не являющиеся его центром масс, в од-

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения:

получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Пе-

Приведённая длина физического маятника – длина математического маятника с периодом собственных колебаний, равным периоду собственных колебаний данного физического маятника.

Демонстрация: Математический и физический маятники

Из приведённых выше примеров видно, что свободные незатухающие механические колебания будут гармоническими лишь при малых изменениях колеблющейся величины.

1.14.3. Свободные затухающие колебания

Рассмотрим пружинный маятник (см. 1.14.2), введя силу сопротивления в виде F сопр rv – сила вязкого трения, r – положительная константа. Колебательная система изображена на РИС. 16.5.

Запишем II закон Ньютона для груза:

ma Fт N Fупр Fсопр .

В проекции на ось x

– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.

Это также однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вид его общего решения42 зависит от величины коэффициента затухания.

1. Сильное затухание (β ≥ ω0)

Общее решение дифференциального уравнения (16.7)

– апериодическое решение, здесь A1 и A2 – постоянные, определяемые из начальных условий. Колебаний нет, имеет место апериодический процесс. Примерный график апериодического процесса показан на РИС. 16.6.

x

x0

Рис. 16.6

2. Слабое затухание (β < ω0)

Общее решение дифференциального уравнения (16.7)

42 Можно провести решение дифференциального уравнения (16.7) через характеристическое уравнение.

Величины A0 и φ в решении (16.8) – это постоянные, определяемые из начальных условий. Заметим, что затухающие колебания не являются колебаниями в строгом смысле этого слова (см. ОПРЕДЕЛЕНИЕ).

период затухающих колебаний

С другими характеристиками свободных затухающих колебаний познакомимся во II семестре (РАЗДЕЛ 3.13.2).

График решения (16.8) при φ = 0 показан на РИС. 16.7.

x

Рис. 16.7

Демонстрация: Маятник с песком

133

Лекция 17

1.14.4. Вынужденные колебания

Пружинный маятник – механическая система, описанная в РАЗДЕЛЕ 1.14.2, при наличии сопротивления, находится под воздействием, описываемым периодической силой

m k

так как Fупр x = –kx, Fсопр x = –rvx. Получим

– дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение – сумма общего решения однородного уравнения (16.7) и частного решения неоднородного уравнения (17.1) (ищем решение при слабом затухании – β < ω0)

134

новкой решения (17.2) в дифференциальное уравнение (17.1).

Общее решение x1(t) быстро затухает. В результате циклическая частота вынужденных колебаний будет равна циклической частоте Ω вынуждающей силы.

Производные функции x2(t)

Подставим эти производные в исходное дифференциальное уравнение (17.1):

Это равенство должно соблюдаться при любом t, в т. ч. тогда, когда cos (Ωt + φ0) = 0 либо sin (Ωt + φ0) = 0. Преобразуем правую часть уравнения (17.1):

Подставим это выражение в (17.3) и приравняем нулю сначала cos (Ωt + φ0), а за-

тем sin (Ωt + φ0):

Разделив нижнее равенство на верхнее, получим

Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на φ0.

Найдём амплитуду A2 вынужденных колебаний из первого уравнения системы

(17.4):

Исследуем зависимость A2(Ω). Значения функции на границах области определения

– резонансной циклической частоте – максимум. Имеет место резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к резонансной циклической частоте.

Графики зависимостей A2(Ω) – резонансные кривые – при разных коэффициентах затухания изображены на РИС. 17.2.

A2

β = 0

β1

β2 < β1

Рис. 17.2

Из формулы (17.6) и РИС. 17.2 видно, что Ωрез < ω < ω0. При β → 0 A2 → ∞ – амплитуда вынужденных колебаний в системе без затухания неограниченно возрастает.

1.15. Механические волны

1.15.1. Уравнение бегущей волны

Волна – любое распространяющееся в пространстве возмущение, т. е. изменение какой либо физической величины с течением времени.

136

Пусть величина ξ зависит от времени и это возмущение распространяется со ско-

1.15.2. Волновой фронт

Волновой фронт (волновая поверхность) – геометрическое место точек, в ко-

торых в один и тот же момент времени колебания происходят в одинаковой фазе.

Часто встречающиеся примеры – плоский и сферический волновой фронт - показаны на РИС. 17.4.

Рис. 17.4

Демонстрации: 1) Волны на поверхности жидкости

2)Волны на поверхности жидкости

3)Волновая машина со связями

1.15.3.Гармоническая волна

Гармоническая (монохроматическая, синусоидальная) волна – процесс рас-

пространения гармонических колебаний в пространстве. Уравнение гармонических колебаний

Длина волны – расстояние, которое волна проходит за время одного полного колебания:

138

Волновое число

Запишем уравнение (17.9) через волновое число:

–A

λ

Рис. 17.5

Демонстрация: Волновая машина

В общем случае (при произвольной форме волнового фронта) уравнение бегущей гармонической волны

1.15.4. Волновое уравнение

Продифференцируем дважды уравнение плоской бегущей волны (17.8) по x, затем по t:

сравнивая вторые производные по x и t, получим дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных

– волновое уравнение.

Общее решение волнового уравнения