3.3.Критерии устойчивости.

А.Принцип аргумента.

Пусть дано характеристическое уравнение:

(3.8)

По умолчанию имеется в виду замкнутая система. По теореме Безу

(3.9)

(3.10)

Рассмотрим геометрическую интерпретацию этого корня

(3.11)

(3.12)

(3.13) для отрицательных корней.

Пусть уравнение (3.10) имеет m корней в правой полуплоскости корней. Тогда

(3.15)

(3.14) для положительных корней.

В.Критерий устойчивости Михайлова.

Пусть дано (3.10). Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости. Т.е.

(3.16)

Геометрическое место конца вектора при изменении от доносит название годограф Михайлова (не путать с обычным годографом!)

Уравнение Михайлова имеет вид:

(3.17)

(3.18)

(3.19) (3.20)

Можно записать, что

(3.21)

и - комплексно сопряжённые, т.е.

(3.22)

С учётом (3.22) (3.16) запишем так:

система устойчива, если

(3.23)

Критерий Михайлова

Дадим определение:

1. САУ устойчива, если при изменении от 0 до изменяется аргумент вектора ), равный ,где -порядок характеристического уравнения.

2. САУ устойчива, если годограф Михайлова ) начинается на положительном отрезке вещественной оси и с изменением от 0 до проходит последовательно в положительном направлении n квадрантов.

Примеры:

(1)

;

(2)

Устойчивые системы

Неустойчивые системы

Cпособы построения годографа Михайлова

1. По уравнениям (3.19) и (3.20) подставляеми находим значениедействительное имнимое.

2. По уравнению (3.17)

(3) задаём в виде передаточной функции системы.

: для замкнутых;

Для разомкнутых:.

B. Предельный коэффициент усиления.

П.К.У. называется такой коэффициент усиления разомкнутой системы, при котором замкнутая САУ встаёт на границе устойчивости.

Важна точка 2.

Каждую точку нужно сместить вправо.

Предельный коэффициент усиления: ОС.

Г.Критерий Гаусса.

Рассматривать не будем.

Д. Критерий устойчивости Гурвица.

Дано характеристическое уравнение:

Составим таблицу Гурвица:

0
0
0	0

Для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы , и все определ. Гурвица довключительно также были бы больше нуля.

Пример:

Система первого порядка:

: отрицат. корень

Система второго порядка:

(по определению)

Для систем 1-го и 2-го порядков необходимо и достаточно явление положительности всех коэффициентов.

Система третьего порядка:

(по определению)

(раскрываем по последней строке и последнему столбцу).

при условии, что только если .

Поэтому в том случае, если .

Положительность всех коэффициентов является необходимым условием, но не достаточным.

Для того чтобы система 3-го порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты были больше 0 и определитель 2-го порядка был бы больше 0.

Можно написать, что

Если , то система – на грани устойчивости.

(1) САУ находится на грани апериодической устойчивости.

(2) САУ находится на грани колебательной устойчивости.

По критерию Гурвица также можно определить ПКУ. В дальнейшем рассмотри пример.

Пусть (3.24)

(3.25)

Согласно критерию Гурвица система будет устойчива, если все коэффициенты больше нуля и определитель (по определению).

Произведение среднего должно быть больше произведения крайнего.

(3.26)

Разделим (3.26) на :

(3.27)

Поделим правый сомножитель на , а левый умножим на.

(3.27’)

Заменив в (3.27’) знак неравенства на знак равенства, получаем:

(3.28)

При одинаковых Т

Система менее устойчива.

Из (3.28) видно, что ПКУ не зависит от постоянных времени, а от их отношений, соотношений между собой.

Рассмотрим при значениях (заданных), при которых система будет устойчива.

Пусть

Система будет устойчива, где (при малых значениях и при больших значениях).

Задача

Система неустойчива.

Критерий Гурвица работает как для разомкнутой системы, так и для замкнутой.

: по корням характеристического уравнения.

Система устойчива.

Е. Критерий устойчивости Найквиста.

Критерий устойчивости Найквиста позволяет определить устойчивость замкнутой системы по годографу разомкнутой.

(3.29)

(3.30)

Рассматриваем 3 случая:

1. Разомкнутая САУ устойчива

2. Разомкнутая САУ неустойчива

3. Разомкнутая САУ нейтральна

1. Разомкнутая САУ устойчива.

Дано:

(3.31)

Требуется доказать

(3.32)

Когда САУ будет устойчивая замкнутая.

Предположим, что замкнутая система устойчива.

Тогда

(3.33)

Док-во:

(3.32) справедливо при условии, если дано (3.31), если справедливо (3.33).

устойчивая

неустойчивая

Неудобно пользоваться функцией .

Вычтем эту единицу.

Тогда критической точкой окажется точка (-1,j0)

Дано

Доказать, когда

Доказательство ведётся от противного.

[3.32] будет справедлива в том случае, если дано [3.34], если справедлива [3.35]. Замкнутая система будет устанавливаться, если разомкнутая система не устойчива, если изменение вектора есть . Мы переходим к функции.

Если разомкнутая САУ неустойчива, переходя к годографу разомкнутой системы, то замкнутая САУ, если годограф разомкнут. САУ в положении в положении направления охватывает точку раз.

Замкнутая система устойчивости

(3) Система нейтральна.

См. Нетушил

Устойчивая система

Назовём переход годографа мнимой оси.

Сверху вниз – положительно, а снизу вверх – отрицательно.

Замкнутая система устойчива, если разность между положительным и отрицательным переходом равна .

Переход: - ? (отрезок).

По критерию Найквиста легко определять предельный коэффициент усиления.

Например,

В разомкнутом состоянии система устойчива.

Ж. Запасы устойчивости

1. Запас по фазе

;

2. Запас по усилению

В хороших системах:

З. Анализ устойчивости одноконтурных САУ по ЛАЧХ.

Система в замкнутом

состоянии устойчива.

Неустойчивая система ()

Чтобы САУ, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом, необходимо и достаточно, чтобы при всех частотах, где (по модулю).

И. Обобщенный критерий Д-разбиения (критерий Неймарка).

Метод Д-разбиения позволяет выделение в плоскости (в пространстве) коэффициентов (параметров) устойчивой и неустойчивой области, т.е. определение влияния параметров на устойчивость. Пусть . Уравнение 3-го порядка имеет 3 корня. Имееткорней в правой полуплоскости и- в левой. При некоторых значениях коэффициентоводин или пара корней может попасть на мнимую ось.

Этому случаю, когда один или пара корней попадают на мнимую ось, в пространстве коэффициентов будет соответствовать точка при заданном значении частоты, а при измененииотдо- некоторая поверхностьS.

Поверхность S разделяет пространство коэффициента на области, каждой точке которой соответствует уравнение 3-го порядка с определённым распределением корней. Эти плоскости обозначим (соответствуют количеству корней в правой полуплоскости).

Пример:

Д-разбиение по одному параметру.

Пусть - тот параметр, по которому надо провестиD-разбиение.

Решая последнее уравнение, получим кривую, которая в пространстве коэффициента изображает мнимую ось.

Устойчивой считается область, где больше всего штрихов. Переход навстречу штрихов означает добавление одного корня справа.

Пример:

Нас интересует значение, лежащее на действительном отрезке.

Из уравнения находим

и подставляем в :

, где … см. критерий Гурвица.

Можно произвести Д-разбиение по другому параметру.

4: не противоречит

Система устойчива при малых и при больших значениях.

Сравнение критериев устойчивости:

1. Алгебраический критерий устойчивости Раусса и Гурвица следует применять, когда характеристическое уравнение меньше 4-го порядка.

2. Критерием Михайлова следует пользоваться при исследовании многоконтурных систем.

3. Критерий Найквиста

4. Метод Д-разбиения позволяет выделять области устойчивости какого-либо параметра.