5. Мгновенная угловая скорость.

Мгновенная угловая скорость равна первой производной углового перемещения по времени:

(6)

При равномерном вращении , тогда

(7)

6. Связь линейной и угловой скоростей.

Если продолжить (3), то получим:

или

(8)

(9)

Вектор линейной скоростисовпадает по направлению с векторным произведением. Векторное произведение всегда связано справилом правого винта: вращая головку винта по направлению вектора, стоящего на первом месте в (9), к вектору, стоящему на втором месте, определяем по поступательному движению винта направление третьего вектора, см. рис. 5.

Модуль векторного произведения:

(10)

7. Модуль и направление углового ускорения.

При вращении за время угловая скорость получит приращение, тогда (8) примет вид:

(11)

Разделим обе части на , получим:

, (12)

где отношение - есть среднее угловое ускорение.

т.е.

(13)

Вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скости прии противоположен ему при, см. рис 6.

8. Связь тангенциального и углового ускорения.

При вращении за время угловая скорость получит приращение, тогда (8) примет вид:

(14)

Разделим обе части на , получим:

(15)

или

(16)

Векторное произведение:

(17)

Вектор тангенциального ускорениясовпадает по направлению с векторным произведением. Векторное произведение всегда связано справилом правого винта: вращая головку винта по направлению вектора, стоящего на первом месте в (13), к вектору, стоящему на втором месте, определяем по поступательному движению винта направление третьего вектора.

9. Мгновенное угловое ускорение.

При получим мгновенное угловое ускорение:

, (18)

т.е. мгновенное угловое ускорение численно равно первой производной угловой скорости по времени или – второй производной углового перемещения по времени.

Приложение 1.

тип движения	рисунок, графики	формулы
Равномерное движение
Равноускоренное (равнозамедленное) движение
Движение тела, брошенного вертикально вниз		При
		При
Движение тела, брошенного вертикально вверх
		При
Движение тела, брошенного горизонтально		; ; ;
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Движение тела по окружности	Тангенциальное и нормальное ускорение. При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и ее направление, поэтому вектор ускорения представляют в виде двух составляющих: тангенциального () и нормального (). Тангенциальное (касательное) ускорение – составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке. (Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю; Направление вектора совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему). Нормальное ускорение– составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории в данной точке. (Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Векторнаправлен по радиусу кривизны траектории). Модуль полного ускорения при этом определяется соотношением: . Направление полного ускоренияопределяют правилом сложения векторов: .

Движение с постоянным ускорением при действии постоянной силы

Первый этап — определение типа движения.

Второй этап — физическая формулировка задачи: выбор системы отсчета, определение действующих сил и начальных условий.

Третий этап — математическая формулировка задачи: запись уравнений,

Если

md²х/dt² =F=mа

не равно 0, то движение ускоренное

t = 0, v = v₀; x= x₀

Четвертый этап — математическое решение задачи.

a = d²х/dt²;

или

a = dv/dt;

Откуда

dv = adt;

Интегрируя обе части

∫ dv =∫ adt;

Взятие интеграла дает

v = at + C

постоянные интегрирования определяюся из начальных условий

Например,

при

t = 0, v = v₀;

тогда

v = v₀ + at

или используя выражение для скорости

dx/dt = v₀ + at;

разделяя переменные

dx =(v₀ + at)dt;

перемножая почленно

dx = atdt + v₀dt;

Применяя операцию почленного интегрирования(свойство интеграла суммы)

∫dx = ∫ atdt + ∫ v₀dt

Получаем интеграл

x = at²/2 + x₀ + v₀t.

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий для координаты частицы и скорости

Следует особо!!!!!! Отметить, что задаются одновременно координата и скорость частицы

Это позволяет делать только классическая механика

Пятый этап — проверка полученного решения.

Прием первый — проверка ответа по размерности.

Прием второй — проверка ответа по заранее очевидным результатам.

Редко используемое и неточное выражение для средней скорости

v_ср. =(t) _t1 ^t2 ∫ vdt

Движение материальной точки под действием постоянной силы –размерная задача

Прежде всего, к такому типу движения относится при определенных условиях движение под действием силы тяжести. Сила тяжести, как и любая сила, является векторной величиной. Примем упрощающее предположение,

что ее модуль постоянен. Но так как эта сила направлена к центру Земли, то ее направление в разных точках земной поверхности различно. Однако при исследовании движений тел, перемещающихся на расстояния, которые намного меньше радиуса Земли (R ~ 6000 км), можно

пренебречь кривизной земной поверхности и с хорошей точностью считать, что сила тяжести не меняет своего направления, оставаясь перпендикулярной этой поверхности. В этих условиях сила тяжести может рассматриваться постоянной как по модулю, так и по направлению. Помимо силы тяжести, с постоянными силами приходится часто сталкиваться при рассмотрении работы различных технических устройств, когда их различные детали испытывают действие постоянных сил со стороны других деталей.

Какой вид имеет траектория камня? От чего зависит дальность полета? Аристотель утверждал, например, что на начальном участке траектория брошенного под углом к вертикали тела является прямой линией, и это, вроде бы, подтверждается непосредственными наблюдениями. Потребовалось почти два тысячелетия, чтобы понять, что траектория на самом деле является криволинейной на всех участках полета.

Изучение движения брошенного тела включает в себя несколько этапов, характерных для решения большинства задач механики.

Первый этап — определение типа движения.

Второй этап — физическая формулировка задачи: выбор системы отсчета, определение действующих сил и начальных условий.

любая точка поверхности движется с ускорением, обусловленным вращением Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца. Но для многих практических задач этот эффект «неинерциальности» является несущественным, и мы будем полагать, что и в нашей задаче этим эффектом можно пренебречь и считать выбранную систему отсчета инерциальной. В инерциальной системе отсчета справедлив второй закон Ньютона , где теперь под F подразумевается постоянная сила тяжести. Мы изобразили эту силу на рис. 4.2 а для некоторого произвольного момента времени после начала движения, поместив тело известной массы в некоторой произвольной точке над поверхностью. Истинное положение тела в различные моменты времени, то есть траекторию его движения, мы сможем определить только после окончательного решения задачи.

рис 4.2

Третий этап — математическая формулировка задачи: запись уравнений, соответствующих физической формулировке. Уравнение D.3) содержит в качестве неизвестных векторные величиныr(t) и v(t). Поэтому оно фактически представляет собой совокупность трех уравнений для трех проекций вышеупомянутых величин.

Для проекций радиуса-вектора тела введем обозначения: r_х= х,r_у= у, r_z = z. Взяв проекции на оси координат от левой и правой частей уравнения движения, мы получаем три уравнения:

Справа от каждого из уравнений записаны начальные условия, являющиеся

неотъемлемыми элементами физической и математической формулировки задачи. Знак «минус» перед mgв последнем уравнении отражает тот факт, что сила тяжести направлена в отрицательном направлении осиOz.

Четвертый этап — математическое решение задачи.Составляющая скоростиv_zимеет вид:

Константу определяем из условия

Интегрируем еще раз:

Новую константу определяем из условия z(0) = 0.

окончательно решение:

Найденные выражения определяют зависимость от времени всех трех проекций радиуса-вектора тела, движущегося под действием силы тяжести.

Тем самым задача о нахождении траектории движения решена.

достаточно выразить tчерез х в первом из равенств и подставить результат в выражение дляz(t). Это даетуравнение траекториив плоскостиzOx:

Из геометрии известно, что это соотношение представляет собой уравнение

параболической кривой, и следовательно, ни на одном из участков полета тела его траектория не является прямой линией.

дальность полетатела. При падении на поверхностьz= 0, и из этого условия находим

Пятый этап — проверка полученного решения.

Прием первый — проверка ответа по размерности.

Прием второй — проверка ответа по заранее очевидным результатам.

Движение ракеты

Первый этап — определение типа движения.

Второй этап — физическая формулировка задачи: выбор системы отсчета, определение действующих сил и начальных условий.

Скорость выброса газов относительно корпуса ракеты-известна(конструкция сопла, тип топлива, параметры горения)-это относительная скорость.

Задача-найти скорость ракеты, массу и т.д.

Третий этап — математическая формулировка задачи: запись уравнений,

Четвертый этап — математическое решение задачи.

Формула Циолковского

Пятый этап — проверка полученного решения.

Прием первый — проверка ответа по размерности.

Прием второй — проверка ответа по заранее очевидным результатам.

При переменной во времени скорости истечения

Для описания движения ракеты в поле Земли следует добавить силу

Уравнение Мещерского

Силы

Сила – степень взаимодействия между объектами

Разложение сил