Glava10

БВЧ – линейное инерционное устройство (поскольку напряжения сигнала и шума малы). Поэтому для него справедлив принцип суперпозиции: мы можем раздельно проанализировать прохождение сигнала и шума через БВЧ, а затем рассмотреть сумму процессов на выходе блока.

При анализе прохождения шума через БВУ будем считать, что БВЧ – нешумящий, а на его входе действует приведённый шум. Приведённый входной шум является стационарным нормальным случайным процессом. Ширина его спектра много больше полосы пропускания БВЧ, поэтому мы будем считать его белым шумом.

При прохождении нормального случайного процесса через линейный блок его распределение вероятностей не меняется. Поэтому шум на выходе БВЧ также будет нормальным. Однако это будет уже узкополосный случайный процесс. Такой процесс имеет характер квазигармонического колебания.

Демодулятор – нелинейное устройство. Поэтому закон распределения шума на выходе демодулятора отличается от нормального. Его статистические характеристики зависят как от статистических характеристик шума на входе демодулятора, так и от амплитуды сигнала.

Анализ прохождения выходного колебания демодулятора через БНЧ существенно зависит от структуры оконечной части РПУ. Поэтому в дальнейшем мы будем либо не учитывать БНЧ, либо считать его идеальным ФНЧ с прямоугольной АХЧ.

10.1. Прохождение шума через БВЧ

Рассмотрим прохождение шумовой составляющей входного колебания через БВЧ.

Поскольку шум на выходе БВЧ является стационарным нормальным случайным процессом, то его распределение вероятностей полностью характеризуется автокорреляционной функцией (АКФ). По теореме Винера-Хинчина АКФ связана с математическим (двусторонним) энергетическим спектром шума преобразованием Фурье*):

K (τ) = F−1 {Gм (ω)} = 21π ∫Gм (ω)e jωτdω (прямое преобразование),

*) Здесь Gм (ω) – математический энергетический спектр напряжения шума (а не мощности).

Напомним, что он связан со спектром мощности соотношением GU I = GR .

∞

Gм (w) = F{K (t)} = ∫ K (t)e− jωτdw (обратное преобразование).

−∞

Математический энергетический спектр – двусторонний, он определен как для положительных, так и для отрицательных круговых частот ω. Мы договорились характеризовать распределение мощности шума по частоте односторонним физическим спектром, определенным только для положительных частот f. Поэтому, прежде всего, рассмотрим соотношение между математическим и физическим спектрами, а затем преобразуем выражение для АКФ таким образом, чтобы в него входил физический спектр.

Поскольку физический спектр определен только для положительных частот, то его уровень вдвое больше, чем математического:

C учётом чётности функций Gм (ω) и cos ωτ и нечётности функции sin ωτ

Полученное выражение для АКФ в дальнейшем понадобится для определения статистических характеристик процесса на выходе демодулятора.

Это выражение справедливо при произвольной форме энергетического спектра шума.

Шум на выходе БВЧ – узкополосный. Если при этом АЧХ БВЧ симметрична, то можно получить приближенное, но более удобное для практических расчетов выражение для АКФ. Представим АЧХ в виде K ( f ) = K0 κ( f ) где κ( f ) – нормированная АЧХ, K0 – максимальный коэффициент усиления БВЧ по напряжению. Тогда физический энергетический спектр шума на выходе БВЧ будет равен

Gф ( f ) = G0 K02 k2 ( f ) ,

где G0 – спектральная плотность напряжения белого шума на входе БВЧ.

АКФ равна

Поскольку БВЧ узкополосный, то удобно перейти от его нормированной АЧХ к нормированной АЧХ его низкочастотного эквивалента κНЧ (F ) (рис.___). Поскольку АЧХ БВЧ симметрична, то κНЧ (F ) – чётная функция. С учётом этого

Таким образом, АКФ на выходе БВЧ имеет характер произведения некоторой медленно меняющейся функции переменной τ на быстро меняющуюся функцию cos (2πf0τ) . По аналогии с АМ сигналом медленно меняющийся сомножитель называют огибающей АКФ.

Представим огибающую АКФ в виде Uш2 ψ(τ) , где Uш2 = K (0) – дисперсия шума на выходе БВЧ; ψ(τ) – огибающая нормированной АКФ. Тогда

K(τ) = Uш2 ψ(τ) cos(2πf0τ).

Вдальнейшем, при анализе прохождения смеси сигнала и шума через демодулятор, нам понадобится выражение для огибающей нормированной АКФ. Поэтому найдём нормированную АКФ шума на выходе БВЧ, а затем – её огибающую. Нормированная АКФ равна

– огибающая нормированной АКФ квазигармонического шума на выходе БВЧ. Таким образом, мы представили АКФ шума на выходе БВЧ в виде

K(τ) = Uш2 ψ(τ)cos(2πf0τ)

иполучили выражение для функции ψ(τ) .

На этом анализ прохождения шума через узкополосный БВЧ заканчивается.

10.2. Прохождение сигнала и шума через линейный АД

Линейный АД имеет линейную детекторную характеристику, оставаясь при этом нелинейным устройством относительно мгновенных значений напряжения. Напряжение на выходе безынерционного линейного АД прямо пропорционально огибающей входного колебания

U (t) :

Uд (t) = KдU (t) ,

где Kд – коэффициент передачи детектора. Поэтому для определения

статистических характеристик шумового напряжения на выходе такого АД нужно знать статистические характеристики огибающей смеси сигнала и квазигармонического шума на выходе БВЧ. Рассмотрим сначала статистические характеристики огибающей шума.

Квазигармоническое шумовое колебание можно представить в виде суммы двух квадратурных составляющих:

u(t) = U (t)cos[w0t + j(t)] = U (t)cos j(t) × cos w0t -U (t)sin j(t) ×sin w0t =

ставляющая.

Низкочастотные косинусная и синусная составляющие колебания представляют собой медленно изменяющиеся по сравнению с u(t) случайные процессы.

Из раздела «Основы теории случайных процессов» курса «Радиотехнические цепи и сигналы» известно, что синусная и косинусная составляющие квазигармонического случайного процесса имеют следующие основные свойства [1].

1)U c (t) и U s (t) являются нормальными случайными процессами с нулевым средним значением:

U s (t) = U c (t) = 0 .

2)Дисперсии низкочастотных составляющих одинаковы и равны дисперсии квазигармонического шума

3) АКФ этих составляющих также одинаковы и равны

KU c (t) = KU s (t) = Uш2 y(t) ,

где ψ(τ) – огибающая нормированной АКФ шума.

Замечание: свойство 2 – частный случай свойства 3, поскольку U (t)2 = KU (0) .

4)В совпадающие моменты времени синусная и косинусная низкочастотные составляющие взаимно некоррелированы:

U c (t)U s (t) = 0.

Замечание: если энергетический спектр шума симметричен относительно частоты ω0 , то его составляющие взаимно некоррелированы в любые моменты

времени (U c (t1 )U s (t2 ) = 0), а поскольку это – нормальные случайные процес-

сы, то они и статистически независимы. Однако в дальнейшем это более сильное утверждение использоваться не будет.

5)Огибающая квазигармонического колебания выражается через синусную и косинусную составляющие как

Свойство 3 определяет важное соотношение между автокорреляционными функциями квазигармонического шума и его низкочастотных квадратурных составляющих: огибающей АКФ квазигармонического колебания является АКФ его косинусной (либо синусной) низкочастотной составляющей. Поэтому АКФ квазигармонического шума можно записать как

K (τ) = KU c (τ) cos ω0τ = KU s (τ) cos ω0τ .

Статистические характеристики огибающей шума на выходе БВЧ. Известно, что огибающая нормального квазигармонического случайного процесса имеет распределение Релея:

Распределение Релея имеет максимум при U = Uш , следовательно наиболее вероятное значение огибающей равно Uш .

Основные статистические характеристики огибающей выражаются через эффективное напряжение квазигармонического шума Uш следующим образом:

· среднее значение (постоянная составляющая) огибающей

(следовательно, среднее значение огибающей больше наиболее вероятного);

· средний квадрат (полная мощность на единичном сопротивле-

нии) огибающей*)

∞

U 2 = ∫U 2 w(U )dU = 2Uш2 ;

0

·дисперсия (мощность переменной составляющей на единичном сопротивлении) огибающей:

·среднеквадратичное отклонение (СКО) (эффектное напряжение переменной составляющей) огибающей:

sU = 4 - pUш » 0, 66Uш . 2

Огибающая квазигармонического колебания – стационарный случайный процесс. Однако, её среднее значение не равно нулю, поэтому АКФ огибающей определяется как

KU (t) = U (t) -U (t) U (t + t) -U (t + t) .

Представим АКФ огибающей в нормированном виде:

KU (t) = sU2 rU (t) ,

где ρU (τ) – нормированная АКФ огибающей. Известно, что нормированная АКФ огибающей выражается через огибающую нормирован-

Для практических расчетов в ряде оставляют только 1-й член и с погрешностью около 10% принимают, что

ρU (τ) ≈ ψ2 (τ) .

Таковы основные статистические характеристики огибающей квазигармонического шума.

Выражение для энергетического спектра огибающей шума получим позднее, а сейчас рассмотрим статистические характеристики огибающей смеси сигнала и шума.

Статистические характеристики огибающей смеси сигнала и шума на выходе узкополосного БВЧ. Рассмотрим основные статисти-

ческие характеристики огибающей суммы немодулированного гармонического сигнала и узкополосного (квазигармонического) шума. Соотношение интенсивностей сигнала и шума будем характеризовать параметром, равным отношению амплитуды сигнала к эффективному напряжению шума:

a = Uс . Uш

Для упрощения анализа примем, что частота сигнала совпадает с центральной частотой спектра шума ω0 (это условие часто выполняется на практике):

uс (t) = Uс cos ω0t .

Представим шум в виде суммы квадратурных составляющих:

uш (t) = Uшc (t) cos ω0t − Uшs (t)sin ω0t .

Тогда сумма сигнала и шума будет равна

=Uсc+ш (t)cos ω0t − Uсs+ш (t)sin ω0t =

=V (t)cos[ω0t + θ(t)] ,

где Uсc+ш (t) = Uшc (t) +Uс и Uсs+ш (t) = Uшs (t) – косинусная и синусная низкочастотные составляющие суммы сигнала и шума; V (t) и θ(t) – огибающая и фаза суммы сигнала и шума соответственно.

Огибающая и фаза суммы сигнала и шума выражаются через низкочастотные квадратурные составляющие следующим образом:

Комплексную огибающую суммы сигнала и шума можно представить с помощью векторной диаграммы, изображённой на рис. 10.2.

Рис. 10.2. Векторная диаграмма комплексной огибающей суммы сигнала и шума

Огибающая суммы сигнала и шума равна длине суммарного вектора:

= &

V (t) U (t)с+ш (t) .

Плотность вероятности огибающей суммы сигнала и шума описывается законом Райса

где I0 (×) – модифицированная функция Бесселя 0-го порядка.

Вид распределения Райса зависит от величины отношения сиг-

нал/шум a = Uс . Рассмотрим два предельных случая:

Uш