Сбор. задач по НГ Притыкин
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИО-
НАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ НЕМЕХАНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
ОМСК – 2007
Составители: Притыкин Ф. Н., Угрюмова М. А., Хирвонен Е. В.
Рецензент: В.В.Иванов, канд. техн. наук, доцент кафедры « Детали машин и инженерная графика», ОмГАУ
Сборник задач составлен в соответствии с государственным образовательным стандартом профессионального высшего образования дисциплины « Начертательная геометрия и инженерная графика» для студентов немеханических специальностей.
2
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
Изучение дисциплины начертательной геометрии и инженерной графики включает самостоятельное решение задач, выполнение контрольных и графических работ. После выполнения соответствующего объёма работ студент допускается преподавателем к сдаче экзамена.
Решения задач оформляются карандашом с помощью чертёжных инструментов в тетради в клеточку. Каждая задача пронумеровывается и оформляется с записью условия задачи.
Графические работы следует выполнять в соответствии со стандартами, устанавливающими правила оформления чертежей. При выполнении чертежей могут быть использованы цветные карандаши.
При решении задач необходимо соблюдать следующую последовательность:
1)представить в пространстве, как расположены геометрические объекты, указанные в исходных данных;
2)составить план решения задачи;
3)выполнить графические построения на чертеже;
4)определить количество решений заданной задачи.
При переносе исходных данных задач в тетрадь, следует размеры, заданные в сборнике увеличивать в 2 или 4 раза. Все точки и линии должны быть обозначены буквами или цифрами (шрифтом № 5). Вспомогательные построения сохраняются.
Принятые обозначения
1.Точки в пространстве – прописными буквами латинского алфавита – А, В, С,… или цифрами 1, 2, 3,…
2.Линии – строчными буквами латинского алфавита – а, b, c,…
3.Плоскости – строчными буквами греческого алфавита – α, β, γ,
δ, ε … ; плоскости проекций – П1, П2, П3, … 4. Проекции точек, линий и плоскостей обозначают теми же буква-
ми, только с индексами: например, проекции на плоскости П1 – А1, В1, a1, b1, α1, на плоскости П2 – А2, В2, a2, b2, α2. Используются
=– совпадение, равенство, результат действия;
– скрещивание прямых; || – параллельность; - перпендикулярность;
– принадлежность элемента множеству;
– принадлежность подмножества множеству;
U – объединение, например АU а =α – точка А и прямая а задают плоскость α;
I– пересечение, например α I а=А – пересечение плоскости α с прямой а определяет точку А.
3
Тема 1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧЕРТЕЖИ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ
1. Построить на наглядном изображении проекции точек А, В, С на к. ч. по заданным координатам. Определить, в каких четвертях пространства они расположены.
А(60,-25,-25) В(15,25,20) С(40,0,20) (комплексный чертёж данных точек не выполнять).
|
|
z |
|
П2 |
|
А |
B2 |
B |
А2 |
Î |
|
|
C1 |
B1 |
А1 |
|
П1 |
|
y |
|
|
|
|
|
x |
C=С2 |
2. Построить проекции точек по заданным координатам А(20,10,15);
В(20,0,15); С(0,10,15). Указать, как располагаются относительно плоскостей проекций эти точки.
z
x П2 |
0 |
y |
П1 |
|
|
y
3. Построить проекции точки А, от- |
4. По двум заданным проекциям |
|||||||||||||||
стоящей от плоскости П1 на рас- |
точек А, В, С построить третьи про- |
|||||||||||||||
стоянии 20 мм, от П2 на расстоянии |
екции. Записать, как расположены |
|||||||||||||||
15 мм и принадлежащей плоскости |
точки В и С относительно плоско- |
|||||||||||||||
П3. Записать координаты точки. |
|
|
стей проекций? Какая из точек наи- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
более удалена от П2? |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
В3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А2 |
А3 |
|||||
x |
|
|
|
0 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||
|
|
П2 |
x |
|
П2 С2 =С1 0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П1 |
|
|
|
y |
y |
4
5. Построить горизонтальную и профильную проекции точки K, отстоящей от плоскости проекций П2 на расстоянии 25 мм и точки М, лежащей в плоскости П2.
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
K2 =M2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x П2 |
0 |
||||||||
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
7. Определить положение оси x.
6. Ввести дополнительную плоскость проекций так, чтобы относительно неё точки А и В стали конкурирующими.
A2 B2
xП2 П1
A1
B1
z
A2 |
A3 |
A1
y
8. Построить три проекции отрезков частного положения: |
|
|
|
||||||||||||||||
a) АС // П2, α (АС, П1)=45°; АС=15мм; |
|
б)АL // П3, |
KL =15мм, β(АL,П2)=45°. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A2 |
|
z |
A3 |
|
|
|
A2 |
|
z |
A3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x П2 |
|
|
|
|
0 |
|
y x |
|
П2 |
|
|
|
0 |
|
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
П1 |
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
5
9. Построить на прямой n точку А с координатой z=10 мм и точку В, конкурирующую с точкой А и находящуюся выше точки А на 5 мм.
10. Через точку С провести прямую m, параллельную прямой n.
|
|
|
|
n2 |
|
x П2 |
|
|
|
||
|
|
|
|||
|
|
П1 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
11. Через точку K провести прямую m, пересекающую прямую f под прямым углом.
|
|
|
f2 |
|
K2 |
|
|
|
|
|
|
||
x П2 |
|
|
0 |
|||
|
|
|||||
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
13. Пересечь прямые АВ, CD и EF горизонтальной прямой.
|
|
|
|
C2 |
|
A2 |
||||||
|
|
|
B2 |
|
|
D2 |
||||||
x П2 |
|
|
|
|
E2=F2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
П1 |
B1 |
C1 |
E1 |
|
|
|
|
|
D1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
F1 |
15. Построить проекции отрезка АВ по заданным координатам точек
А(50,10,10); В(10,25,30). Разделить отрезок АВ точкой C в отношении
АС : СВ = 2 : 3.
n2 |
С2 |
xП2 П1
n1 |
С1 |
|
12. Через точку М провести прямую m, параллельную прямой a и горизонтальную прямую h, пересекающую данную прямую a.
|
|
а2 |
M2 |
|
x П2 |
0 |
|||
|
|
П1 |
|
|
|
|
M1
а1
14.Через точку А провести прямую n, пересекающую данную прямую под прямым углом.
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
x П2 |
|
|
|
A2 0 |
|||
|
|
П1 |
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
A1 |
|||
|
|
|
|
|
|
x П2 |
0 |
||
|
|
П1 |
|
6
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 2 |
|
|
|
|
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ |
|
|||||||
|
16. Построить недостающие проекции прямых, принадлежащих плоскостям. |
|
||||||||
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
C2 |
m2 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
||
|
|
K2 |
b2 |
|
A2 |
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
П2 |
|
x |
П2 |
|
|
x |
П2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
П1 |
K1 |
m1 |
|
П1 |
A1 |
|
|
П1 |
|
|
|
a1 |
b1 |
|
n1 |
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Определить принадлежность |
|
|
18. Построить фронтальные проек- |
||||||
|
точек М и N плоскости Σ (∆ABC) |
|
|
ции треугольников, если ∆ABC//П1, |
||||||
|
|
M2 |
|
|
В2 |
|
|
∆ADE П2 и угол наклона плоскости |
||
|
|
|
|
|
N2 |
∆ADE к плоскости проекций П1 ра- |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
вен 45°. |
|
|
||
|
|
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
П2 |
С2 |
|
|
|
|
x П2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
П1 |
D1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A1 |
|
|
|
|
N1 |
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
С1 |
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. Построить фронтальную проек- |
|||
|
19. Достроить горизонтальную про- |
|
||||||||
|
екцию плоского пятиугольника |
|
|
цию треугольника АВС, располо- |
||||||
|
ABCDE |
|
|
|
|
|
женного в плоскости α. |
|
||
|
|
В2 |
С2 |
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
|
|
|
|
|
D2 |
|
|
|
|
|
|
|
А2 |
|
|
|
|
|
B1 f1=h2 |
|
|
|
|
x П2 |
E2 |
|
|
|
|
x П2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
П1 |
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
A1 |
C1 |
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
21. Через точку А провести любую прямую, параллельную плоскости α.
А2 |
a2 |
xП2 П1
A1
a1
23.Определить угол наклона плоскости Σ(∆ABC) к горизонтальной плоскости проекций П1. Построить фронтальную проекцию точки М, принадлежащую плоскости Σ.
В2
А2
xП2 С2 П1
A1 |
C1 |
B1 |
М1 |
25. В плоскости Г (∆ABC) построить точку K, равноудалённую от вершин треугольника ABC.
|
|
|
|
В2 |
|
|
|
А2 |
|
|
|
x П2 |
|
|
С2 |
||
|
|||||
|
|
|
|||
|
|
П1 |
|
|
C1 |
|
|
A1 |
|
B1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
22. Построить горизонтальную проекцию треугольника АВС, если его плоскость параллельна плоскости
β (k//n).
|
|
|
|
|
|
|
В2 |
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x П2 |
|
n2 А2 |
|
|
С2 |
|||
|
|
|
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|||||
|
|
|
|
k1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
n1
24. Через точку А провести прямую, перпендикулярную плоскости α (α2)
A2
a2
x П2
П1 A1
26. Через точку М построить плоскость ∆ (n∩m), параллельную заданной Σ(∆ABC).
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
M2 |
|
|
|
А2 |
|
C2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
x П2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
M1 |
||||
|
|
|
B1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
||||
|
|
|
|
|
|
8
27. Построить точку пересечения прямой n с плоскостью Г (∆ABC). Указать видимость прямой.
|
|
|
|
A2 |
n2 |
||
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
П2 |
|
|
C2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
П1 |
|
|
|
B1 |
A1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 C1
29. Построить линию пересечения плоскости Q(n//m) с фронтальной плоскостью уровня Г(Г1).
|
|
m2 |
|
|
n2 |
x |
П2 |
n1 |
|
П1 |
|
|
Г1 |
m1 |
31. |
Построить |
точку |
пересечения |
|
прямой ЕF с плоскостью ABC. |
||||
|
|
|
В2 |
F2 |
|
|
|
|
|
x |
E2 |
А2 |
|
С2 |
П2 |
|
|
||
|
|
|
||
|
П1 |
A1 |
|
F1 |
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
B1 |
|
|
E1 |
|
|
|
28. Построить горизонтальную проекцию плоскости Г (∆DEF), если известно, что данные плоскости параллельны.
|
D2 |
|
|
B2 |
|
A2 |
C2 E2 |
F2 |
|
x П2
П1 B1
A1 C1 E1
30. Задана плоскость ∆ (a∩b) и точка М. Через точку М построить горизонталь h, параллельную заданной плоскости.
a2 b2 M2
xП2 П1
a1 b1 M1
32. Задана плоскость Г (∆АВС), плоскость Σ (Σ2) и точка М. Через точку М построить прямую, параллельную линии пересечения данных плоскостей.
В2
|
|
|
|
S2 |
|
M2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
x П2 |
А2 |
|
С2 |
||||
|
|||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
П1 |
A1 |
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
M1
B1
9
33. Заданы плоскость Σ (Σ1) и пря- |
34. Заданы плоскость Σ, заданная |
мая АВ. Провести через прямую АВ |
∆ABC и плоскость Р, заданная па- |
плоскость ∆, перпендикулярную за- |
раллельными прямыми DE и LK. |
данной Σ. |
Построить линию пересечения |
|
плоскостей. |
В2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В2 |
|
D2 |
|
L2 |
||
|
|
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x П2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
П1 |
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
A1 |
|
S1 х |
|
|
А2 |
|
|
|
E2 |
|
|
|
K2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
П2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
П1 |
|
|
|
C1 |
D1 |
|
|
|
L1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А1 |
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 3
ПОЗИЦИОННЫЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
35. Определить кратчайшие расстояния способом замены плоскостей а) между двумя точками; б) от точки до прямой; в) от точки до плоскости.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
||||
|
|
|
|
A2 |
|
|
K2 |
|
|
n2 |
|
|
|
|
M2 |
|
|
B2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|||||||||
x П2 |
|
|
B2 |
x П2 |
|
|
|
|
x П2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
П1 |
|
A1 |
B1 |
|
|
П1 |
|
|
|
n1 |
|
|
|
П1 |
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
10