Лекция 4-с1
.pdf
Лекция 4 |
(Задачи 2,3,4,6) |
ИЗОБРАЖЕНИЕ ТОЧКИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
Символы и обозначения. Основные элементы пространства и их параметрическая оценка
К основным элементам пространства относятся точка, прямая и плоскость. Данные элементы определяют простые фигуры, из которых создаются более сложные геометрические объекты. Ниже приведены примеры обозначений элементов пространства и дана их параметрическая оценка:
1) Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита − А, В, С, D и т.д. или арабскими цифрами 1, 2.
l
а
А
О
у
А
уА
О |
x |
|
xА |
|
|
z |
|
|
|
A |
|
xA |
zA |
|
о |
||
|
||
x |
y |
|
|
||
yA |
|
На прямой а находится однопараметрическое множество точек ∞ 1. Положение точки на прямой определяет один параметр - l. Точка О задаёт начало отсчёта.
На плоскости находится двухпараметрическое множество точек ∞ 2. Положение точки на плоскости определяют две координаты xA и yA.
В пространстве находится трехпараметрическое множество точек ∞ 3. Положение точки А определяют три координаты xА, yA, zA.
2) Прямые линии обозначаются строчными буквами латинского алфавита −
a, b, c, d и т.д. y
A |
l |
|
|
yA |
B x |
O |
|
|
xB |
В плоскости находится двухпараметрическое множество прямых - ∞ 2. Положение прямой l определяют две точки A и B на задание которых необходимо затратить два параметра xВ и yA.
1
|
z |
l A |
xA |
zA |
О |
|
x yB 
B
В пространстве находится четырех параметрическое множество прямых
– ∞ 4. Для задания точек A и B принадлежащих плоскостям Oxz и Oxy необходимо соответственно затратить четыре параметра – xA, zA, xB, yB.
y
xB
3) Плоскости и поверхности обозначаются прописными буквами греческого алфавита - D, q, G, S и т.д. (D - дельта, q - тета, G- гамма, S - сигма).
z
|
∆ |
|
A |
zA |
В пространстве находится трехпараметрическое множество плоско- |
|||
|
|
|
|
стей - ∞ 3. Для задания точек A, B, C принадлежащих соответственно |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
осям Ox, Oy, Oz необходимо затратить три параметра xB, yC, zA. Точки |
xB |
|
|
|
|
yC |
А, В и С определяют единственную плоскость ∆ в пространстве А |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆, В ∆, С ∆. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
C |
||
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z
R
|
x0 |
Ос |
|
O |
|
x |
|
z0 |
y0 |
y |
|
|
|
Сфер в пространстве четырёхпараметрическое множество - ∞ 4. Сферу в пространстве определяют:
− три параметра задают положение центра сферы точки Оc - x0, y0, z0. Данные параметры называют параметрами формы;
– один параметр задает радиус R сферы.
Данный параметр называют параметром формы. Таким образом, сфер в пространстве ∞ 3+∞ 1=∞ 4
Соотношения, возникающие между элементами пространства
1)Совпадение - = (А= B, точка А совпадает с точкой B);
2)Параллельность - || (a||S, прямая a параллельна плоскости S);
3)Принадлежность - Ì (А D , точка А принадлежит плоскости D , aÌS);
4) Перпендикулярность - (a S, |
прямая a перпендикулярна плоскости |
||||
S); |
|
|
|
|
|
5) Пересечение - Ç (aÇ D = В, прямая a |
пересекается с плоскостью D в точке |
||||
В); |
|
|
|
|
|
6) Скрещивание - |
|
(a |
b , прямые a и b скрещиваются); |
||
|
|||||
|
2 |
|
|
||
Центральное и параллельное проецирование
Для отображения элементов пространства (оригиналов) на плоскость используют аппарат центрального и параллельного проецирования.
Аппарат центрального проецирования:
S |
A |
|
|
|
|
|
|
|
A |
/ |
|
|
|
1) |
S – центр проецирования; |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2) |
А,В – объекты проецирования, |
||
|
B |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
оригиналы; |
|
||
|
B / |
|
|
|
|
|||
|
|
|
П |
3) |
SA, SВ – проецирующие лучи; |
|||
|
|
|
|
4) |
П – плоскость проекций; |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
5) |
А /, B / – проекции точек А и B. |
|
Если центр проецирования удалить в бесконечность, то проецирующие лучи становятся параллельными между собой при этом получают аппарат параллельного проецирования.
Если проецирующие лучи параллельного проецирования образуют с плоскостью проекций углы не равные 90°, то такое проецирование называют косоугольным.
|
|
|
|
l |
S |
|
|
|
|
||
S |
∞ |
{ A |
|
|
П |
α ≠ 90 – |
косоугольное проецирование; |
||||
|
/ |
|
|||||||||
|
A |
|
α = 90 – |
прямоугольное (ортогональное) |
|||||||
|
|
l / |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
проецирование; |
||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
α – угол между проецирующими лучами |
|||
|
|
|
|
|
|
и плоскостью проекций. |
|||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3
Свойства проецирования
1.Проекцией точки на плоскость есть, точка;
2.Проекцией прямой в общем случае является прямая (в частном случае точка);
3.Проекцией плоской фигуры есть множество проекций всех её точек; в общем случае это плоская фигура в частном случае отрезок;
4.Если прямая параллельна плоскости проекций, то её проекция параллельна заданной прямой;
5.При параллельном проецировании отношение длин отрезков на прямой и на их проекциях сохраняются.
A |
|
C |
B |
|
|
||
|
|
|
|
П |
|
|
|
A/ |
C |
/ |
/ |
|
|
B |
AB = A/ B /
BC B / C /
Обратимость чертежа – это возможность по проекционным изображениям решать различные метрические и позиционные задачи.
S
|
A |
|
|
C |
B |
A/ |
C/ |
B/ |
|
|
П |
При использовании одной плоскости проекции чертеж является, не обратим. На рисунке видно, что точка С в про-
странстве не принадлежит отрезку АВ, хотя С / A/B/.
Требованиям обратимости чертежа удовлетворяет способ изображения геометрических объектов при использовании прямоугольного проецирования на две и более взаимно-перпендикулярных плоскостей проекций.
Проецирование точки на три плоскости проекций
Пусть в пространстве заданы три взаимно-перпендикулярные плоскости П1, П2 и П3. Впервые способ задания точек в пространстве с помощью трех координатных плоскостей предложил ученый Декарт (1596-1650г.)
4
|
|
|
z |
|
П1 – |
горизонтальная плоскость |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
проекций, |
||
|
П2 |
A2 |
Az |
|
П2 – |
фронтальная плоскость про- |
|
|
|
|
|
екций, |
|||
|
|
A |
|
|
|||
// |
|
A3 |
|
П3 – |
профильная плоскость проек- |
||
|
|
|
ций, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
П3 |
|
(•) А – |
объект проецирования, |
|
|
/ |
|
|
|
АА1 – |
горизонтальный луч проеци- |
|
x |
Ax |
O |
|
рования, |
|||
|
|
A1 |
|
|
АА2 – |
фронтальный луч проециро- |
|
|
|
Ay |
|
вания, |
|||
/// |
/V |
B2 |
B1 |
|
АА3 – |
профильный луч проециро- |
|
П1 |
|
вания, |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
B3 |
|
А1 – |
горизонтальная проекция (•) А, |
|
|
|
B |
y |
А2 – |
фронтальная проекция (•) А, |
||
|
|
|
|
А3 – |
профильная проекция (•) А. |
||
Плоскости проекций П1, П2 и П3 разделяют пространство на 8 октантов. Плоскости проекций П1 и П2 разделяют пространство на 4 четверти.
Линии пересечения плоскостей проекций П1 ∩ П2 – Ox, П2 ∩ П3 – Oz, П1 ∩ П3 – Oy – определяют оси прямоугольной системы координат.
Ox, Oy, Oz – называются осями координат.
Координаты точек
Это расстояние точки А (объект проецирования) до плоскостей проекций.
x – |
широта АА3 = ОАх расстояние от точки А до П3; |
y – |
глубина АА2 = А1Ах расстояние от точки А до П2; |
z – |
высота АА1 = А2Ах расстояние от точки А до П1; |
Точка может располагаться в различных четвертях или октантах.
I окт. (y>0, z>0 x>0); II окт. (y<0, z>0, x>0); III окт. (y<0, z<0 , x>0); IV окт. (y>0, z<0, x>0)
Комплексный чертеж – это чертеж, полученный в результате совмещения плоскостей проекций. Впервые комплексный чертеж предложил французский ученый Г.Монж в своем труде по геометрии в 1799 г. Поэтому комплексный чертеж называют эпюр Монжа.
5
|
|
|
|
Линия проекционной |
|
||
П2 |
|
z |
|
связи |
|
z |
|
|
П3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
А2 |
|
А3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А2 |
|
А3 |
x1,2 |
|
|
точка А принадлежит |
x |
|
|
|
|
О |
первому октанту; |
|
|
|
|
|
|
|||
П1 |
|
|
|
|
B2 |
|
точка В принадлежит /V |
А1 |
|
|
|
|
B3 октанту. |
||
|
|
|
|
А1 |
|
||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для получения комплексного чертежа необходимо:
1.Удалить точку А с отрезками проецирующих лучей АА1, АА2 и АА3;
2.Трехгранный угол, образованный плоскостями проекций П1, П2 и П3 разрезаем по оси y.
3.Совмещаем горизонтальную плоскость П1, вращением вокруг оси х, до совмещения с плоскостью П2.
4.Профильную плоскость проекций П3, вращаем вокруг оси z до, со-
вмещения с плоскостью П2.
Линии, соединяющие две проекции одной точки на комплексном чертеже,
называются линиями проекционной связи. |
|
|||
А1А2 |
– |
вертикальная линия проекционной связи |
|
Ox. |
|
||||
А2А3 |
– |
горизонтальная линия проекционной связи |
Oz. |
|
6
Построение третьей проекции точки по двум заданным
В ряде случаев, для удобства решения задач необходимо использовать дополнительные плоскости проекций, перпендикулярные к уже имеющимся плоскостям проекций.
z
A2 
A3 Az
x1,2 Ax
y
y
A1
Задача №1 Построить профильную проекцию точки А3 если
заданы горизонтальная и фронтальная проекции этой точки. Алгоритм решения:
1.Проводим линию проекционной связи перпендикулярную оси Oz и проходящую через точку А2 .
2.На данной линии проекционной связи от-
кладываем отрезок АzА3 = А1АX .
7
Используя данное правило, можно строить проекции точек на дополнительные плоскости проекций (метод замен плоскостей).
П2 |
|
|
|
П2 |
A2 |
A2 |
|
A4 |
|
||
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
x1,2 |
|
4 |
x1,2 |
A |
П4 |
|
A4 |
|
|
|
|
|
||
Ax |
|
|
|
|
|
|
A1 |
Ax1 |
x1,4 |
|
x |
|
|
1 |
|||
|
|
|
4 |
||
|
|
|
|
|
, |
|
|
П1 |
|
П1 |
A1 |
Задача №2 Определить проекцию точки А4 на дополнительной плоскости проекций П4 заданной осью x1,4 , если известны её фронтальная и горизонтальная проекции (А2,А1) .
Решение
а) Строим линию пересечения плоскостей П1 и П4 = x1,4;
b) Через точку А проводим линию проекционной связи 
x1,4.
c)Строим проекцию А4, использую равенство отрезков А2АX=А4АX.
1.Две проекции точки А1 и А4 лежат на одной линии проекционной связи перпендикулярной к оси x1,4.
2.Расстояние от “ новой” проекции точки А4 до “ новой” оси x1,4 равно расстоянию от “ старой” проекции точки А2 до “ старой” оси x1,2.
8
Конкурирующие точки
Конкурирующими точками называют точки, распологающиеся на одном проецирующем луче.
Из двух конкурирующих точек видимой является та точка, которая дальше располагается от плоскости проекций.
|
|
|
A2 |
|
C2 |
=D2 |
||
|
|
|
|
|||||
x1,2 |
|
B2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A1 |
=B1 |
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
D1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Точки А и В называют горизонтально конкурирующими. Точки С и D называют фронтально конкурирующими.
|
|
|
|
|
|
Задача №3 |
A2 |
|
|
B2 |
|
Ввести дополнительную плоскость так, |
|
|
|
|
|
|
чтобы точки А и В стали конкурирую- |
|
x1,2 |
|
|
|
|
щими. |
|
|
|
|
|
|
|
План решения: |
A1 |
|
|
|
|
1 |
Строим ось x1,4 A1, B1; |
|
|
|
|
2 |
Строим линию проекционной связи |
|
|
|
|
|
|
||
|
B1 |
A4 |
=B4 |
x1,4; |
||
|
|
4 |
3 |
На линии проекционной связи откла- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
дываем отрезки AxA2=A/xA4, BxB2=B/xB4. |
||
|
x 1 |
|
|
|
||
9
(Пример анимационного рисунка)
Выполнение эскиза на тему «Разрезы ломанные»
10