62.1 Законы Кирхгофа и преобразование электрических цепей на их основе.

Законы Кирхгофа (или правила Кирхгофа) — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Законы Кирхгофа являются основными в теории цепей.

Первый закон – закон токов Кирхгофа (ЗТК) формулируется по отношению к узлам электрической цепи и отражает тот факт, что в узлах не могут накапливаться заряды. Он гласит: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю.

,

где m – число ветвей, сходящихся в узле.

В этом уравнении токи, одинаково ориентированные относительно узла, имеют одинаковые знаки. Например, знаки выходящих токов можно считать положительными, а входящих – отрицательными.

Число независимых уравнений, составляемых по ЗТК, равно числу независимых узлов электрической цепи.

Второй закон – закон напряжений Кирхгофа (ЗНК) формулируется по отношению к контурам и гласит: алгебраическая сумма напряжении ветвей в любом контуре цепи равна нулю.

,

где n – число ветвей, входящих в контур.

В этом уравнении напряжения, совпадающие с направлением обхода контура, записываются со знаком «+», а не совпадающие – со знаком «–».

Рассмотрим пример, в котором рассчитываются токи ветвей схемы резистивной цепи, изображенной на рисунке 2.1, по методу уравнений Кирхгофа. Схема имеет n_у = 4 узла, n_в = 6 ветвей. Выберем узел 4 в качестве базисного и составим n_у - 1 = 3 уравнения по ЗТК: для 1-го узла -i₁ + i₃ + i₄ = 0; для 2-го узла -i₂ - i₃ + i₅ = 0; для 3-го узла i₂ - i₄ + i₆ = 0. По ЗНК составляем n_в - n_у + 1 = 3 уравнения для контуров, показанных на рисунке стрелками: для 1-го контура -u_г1 + u₁ + u₃ + u₅ = 0; для 2-го контура u_г2 + u₂ - u₃ + u₄ = 0; для 3-го контура -u_г2 - u₂ + u₆ - u₅ = 0. Или с учетом закона Ома:

Рисунок 2.1 – Схема, отражающая применение ЗТК и ЗНК

-u_г1 +R₁i₁ + R₃i₃ + R₅i₅ = 0 ;

u_г2 + R₂i₂ - R₃i₃ + R₄i₄ = 0 ;

-u_г2 -R₂i₂ + R₆i₆ - R₅i₅ = 0 .

Решая совместно эти системы уравнений, находят искомые токи.

Преобразование электрических схем

Преобразования электрических схем применяются для упрощения расчетов. Наиболее типичные методы преобразования следующие.

Последовательное соединение элементов. Согласно ЗТК при последовательном соединении элементов через них протекает один и тот же ток (рисунок 2.2).

Согласно ЗНК напряжение, приложенное ко всей цепи:

Тогда для последовательного соединения резистивных элементов R₁, R₂, ..., R_n будем иметь:

.

Для последовательного соединения индуктивных элементов:

.

Для последовательного соединения емкостных элементов:

.

При n = 2:

С = С₁C₂/(С₁ + С₂).

Таким образом, цепь из n последовательно соединенных резистивных, индуктивных или емкостных элементов может быть заменена одним эквивалентным резистивным, индуктивным или емкостным элементом.

При последовательном соединении независимых источников напряжения, они заменяются одним эквивалентным источником напряжения с задающим напряжением u_г, равным алгебраической сумме задающих напряжений отдельных источников. Причем со знаком «+» берутся задающие напряжения совпадающие с задающим напряжением эквивалентного источника, а со знаком «–» – несовпадающие.

Параллельное соединение элементов. При параллельном соединении элементов согласно ЗНК к ним будет приложено одно и то же напряжение.

Согласно ЗТК для тока каждой из схем, изображенных на рисунке выше, можно записать:

.

На основании этого уравнения для параллельного соединения резистивных элементов получаем:

.

Для параллельного соединения емкостных элементов:

.

Для параллельного соединения индуктивных элементов:

.

При n = 2:

R = R₁R₂/(R₁ + R₂); L = L₁L₂/(L₁ + L₂) .

Следовательно, цепь из n параллельно соединенных резистивных, индуктивных или емкостных элементов можно заменить одним эквивалентным резистивным, индуктивным или емкостным элементом.

Параллельно соединенные независимые источники тока можно заменить одним эквивалентным источником тока с задающим током, равным алгебраической сумме задающих токов отдельных источников. Причем со знаком «+» берутся задающие токи, совпадающие по направлению с задающим током эквивалентного источника, а со знаком «–» – не совпадающие.

При расчете электрических цепей часто возникает необходимость преобразования источника напряжения с параметрами u_г и R_г, в эквивалентный источник тока с параметрами i_г и G_г, или наоборот – преобразование источника тока в эквивалентный источник напряжения. Эти преобразования осуществляются в соответствии с формулами:

i_г = u_г/R_г ; G_г = 1/R_г

Пример преобразования “звезда—треугольник”. Кроме последовательного и параллельного соединений элементов весьма распространенными являются соединения элементов треугольником и звездой.

Существуют формулы преобразования соединения треугольника в звезду:

; ;.

Обратный переход можно получить по формулам, которые получены из предыдущих:

R₁₂ = R₁ + R₂ + R₁R₂/R₃ ; R₂₃ = R₂ + R₃ + R₂R₃/R₁ ; R₃₁ = R₃ + R₁ + R₃R₁/R₂

62.2 Структура канала связи. Какие его компоненты наиболее сильно влияют на качественные характеристики тракта передачи данных. Что необходимо знать о канале связи при его использовании в сети передачи данных.

Канал связи – это совокупность технических и программных средств обеспечивающих передачу сообщения от источника к потребителю. Классификация каналов связи: 1. По назначению - телефонные - телеграфные - телевизионные - радиовещательные 2. По направлению передачи - симплексные (передача только в одном направлении) - полудуплексные (передача поочередно в обоих направлениях) - дуплексные (передача одновременно в обоих направлениях) 3. По характеру линии связи - механические - гидравлические - акустические - электрические (проводные) - радио (беспроводные) - оптические 4. По характеру сигналов на входе и выходе канала связи - аналоговые (непрерывные) - дискретные по времени - дискретные по уровню сигнала - цифровые (дискретные и по времени и по уровню) 5. По числу каналов на одну линию связи - одноканальные - многоканальные   Структура канала связи ИС - источник сообщения ПС - получатель сообщения Т – передатчик (transmitter) R- приемник (reciever) ЛС - линия связи ИП - источник помех ЛС (тракт) – физическая среда,    по которой распространяется сигнал от передатчика к приемнику S(t) – исходное сообщение  X(t) – сообщение подготовленное передатчиком и переданное по линии связи x(t) – сообщение, принятое приемником s(t) – сообщение, восстановленное приемником для получателя сообщения. В связи с тем, что на канал связи действуют различные помехи – X(t) не равно x(t) и S(t) не равно s(t) Характеристики качества каналов и трактов связи Основным видом каналов связи является стандартный канал тональной частоты КТЧ. Качество таких каналов определяется следующими основными параметрами и характеристиками: - шумовой защищённостью каналов аш [дБ]; - достоверностью передачи дискретных сообщений Q; - надёжностью линии связи по замираниям Н [%]; -характеристиками канала ТЧ: остаточным затуханием, амплитудной, амлитудно-частотной, фазочастотной; стабильностью остаточного затухания. Нормы на эти параметры и характеристики указываются в технических условиях для конкретных образцов систем связи. Характеристики Канал связи характеризуется ёмкостью (объёмом) Vk[1], который определяется по формуле: Vk = TkFkDk, где Tk — время возможной передачи информации через канал; Fk — полоса пропускания канала; Dk — динамический диапазон канала: Dk = Ps / Pi, где Ps — допустимая в канале мощность передаваемого сигнала, а Pi — мощность помехи в канале.

62.3 Оценка точности и достоверности результатов статистического моделирования (планирование эксперимента). Методы понижения дисперсии: ускоренный расчет интегралов; метод существенной выборки, метод стратифицированной выборки.

Планирование статистического эксперимента

Пусть X = (x1 , ... ,xk) - вектор случайных величин, имеющий распределение PX. Во многих случаях цель статистического эксперимента может быть сведена к определению математического ожидания с.в. y = g(X), где g(x) - заданная функция с.в. X. Поэтому типовая схема статистического эксперимента имеет вид рис.

Здесь оценка y приближается к точному значению My с ростом числа опытов n.

1. Прямая задача планирования: известно число опытов, требуется определить погрешность M;^_y.

Оценка M;^_y является случайной величиной, т.к. представляет cобой функцию от случайных величин:

M;^y =

В типовой схеме статистического эксперимента используются независимые реализации xi, поэтому с.в. yi в формуле также независимы. Из центральной предельной теоремы вытекает, что с.в. M;^y при больших n имеет нормальное распределение, т.е. M;^y ~ N[m,]. Определим параметры этого распределения:

m = M(M;^y) = M() =M() =M() =M_y = M_y

σ2 = D(M;^y) = D() =D() =D() =Dy =n D_y = D_y

Таким образом, при увеличении числа опытов на порядок  уменьшается в 3 раза. На рис. схематически показан вид распределения оценки M;^ в зависимости от n.

Диапазон вероятных отклонений оценки от точного значения M(y) сужается пропорционально . Параметр используют как показатель точности оценки. Поскольку M;^y имеет нормальное распределение, то практически достоверно, что M;^y отклоняется от искомого M;^(y) не более, чем на 3. Можно сказать, что  является аналогом абсолютной погрешности, а 3 - самой абсолютной погрешностью.

2. Обратная задача планирования: известна погрешность 3(M;^y), надо найти число опытов n.

∆ = 3(M;^y) = =(с.к.о. неизвестна, поэтому берём её оценку).

=

n = ()²

Понижение дисперсии

Под аналитико-статистическим подходом будем понимать изобретение всевозможных усовершенствований схемы статистического эксперимента с целью уменьшить число опытов N, необходимое для достижения заданной точности расчетов.

При этом усовершенствования схемы эксперимента выполняются путем ее формального, т.е. аналитического преобразования. Сам же эксперимент остается статистическим.

Идея понижения дисперсии. Она состоит в следующем.

Поскольку при заданной точности v число опытов N определяется формулой

то N можно уменьшить за счет снижения дисперсии D(y) выходной с.в. y. Точнее говоря, вместо y предлагается разыгрывать "немножко другую" с.в. с тем же значением искомого м.о. M() = M(y), но с меньшей дисперсией D() << D(y).

Расчёт интегралов

I =h(t)dt =

H(t) = h(t), при t(a,b)

H(t) = 0, в противном случае.

От выбора функции f(t) зависит скорость сходимости оценки I' к точному значению интеграла I.

Скорость сходимости I' к I определяется главным образом дисперсией с.в. y = H(x)/f(x). Чем меньше D(y), тем скорее сходится статистическое среднее I'= = (y₁ + ... + y_n )/n.

Поэтому рекомендуется подбирать f(t) так, чтобы с.в. H(x)/f(x) была по возможности ближе к константе, т.к. при y = const было бы D(y) = 0. Но H(x)/f(x) = const означает, что f(x) = const H(x). Следовательно, нужно стремиться, чтобы функция f была "подобна" функции H.

Метод взвешивания

Для простоты изложения метода рассмотрим статистический эксперимент с одномерной входной с.в. x (рис. 6.1).

x~ f(t) i = 1..N

y(x) yM;^_y

Рис. 6.1. Исходная схема эксперимента

Формально искомое м.о. M(y) определяется выражением:

(6.1)

Метод взвешивания основан на аналитическом преобразовании выражения (6.1) и на соответствующем изменении схемы эксперимента.

Разделим и умножим подынтегральное выражение в (6.1) на произвольную п.р.в. p(t), не равную нулю в пределах интегрирования. В результате мы увидим, что

(6.2)

где = y(x) f(x) / p(x), а x ~ p(t). Следовательно, вместо расчета оценки M;^ можно выполнять расчет оценки M;^_y'. Схема расчетаM;^_y' представлена на рис. 6.2. Такой переход от исходной схемы рис. 6.1 к схеме рис. 6.2 называется методом взвешивания. Обе схемы эквивалентны с точки зрения м.о. выходной с.в., но различны с точки зрения ее дисперсии.

i = 1..N Перемножение

x~ p(t) y

y(x) *

f(x)/p(x) M;^_y'

Рис. 6. 2. Преобразованная схема

Описанный одномерный вариант метода легко распространяется и на случай многомерной с.в. Для этого достаточно в (6.2) вместо скаляров x,t записать соответственно векторы X = (x, ... , x), T = (t, ... , t). Обобщение на случай дискретной с.в. X осуществляется путем замены интеграла на сумму, а плотностей - на вероятности.

Искусство применения метода взвешивания сводится к подбору такой функции p, чтобы было D() << D(y). Тогда получится N' << N. Можно, например, подбирать п.р.в. p так, чтобы с.в.= y f / p была по возможности ближе к константе, хотя бы в каком-нибудь интуитивном смысле, т.к. при= =const должно быть D() = 0.

Основное достоинство метода взвешивания - в простоте преобразования схемы эксперимента. Программа вычисления функции y(x), т.е. модель исследуемой системы не меняется. Добавляется только расчет множителя f/p (веса), да генератор входной с.в. с распределением f заменяется на генератор с распределением p.

Метод расслоения

Необходимо рассчитать надёжность неприводимой системы при малых (и одинаковых) вероятностях отказа элементов: p_k = p = 2·10^–4 (k = 1, …, 7). Поскольку система отказывает только при одновременном отказе минимум двух элементов, то вероятность Q отказа системы имеет порядок величины p², и поэтому для вычисления оценки придётся проводить опыты, число которых составляет сотни миллионов.

Чтобы сократить необходимое число опытов, усовершенствуем схему статистического эксперимента. В соответствии с методом расслоения рассмотрим множество всех возможных значений входной с.в. Х.

В исходном (непосредственном) статистическом эксперименте входная с.в. Х определяется в виде

Х = (x₁, ..., x₇), (2.34)

где компоненты x₁, ..., x₇  {0, 1} обозначают состояния элементов системы (0 –  элемент работает, 1 – элемент отказал). Вероятности отказа элементов известны: Р{x_k = 1} = 2∙10^–4. Выходная с.в. (состояние системы) y  {0, 1} является определённой функцией от с.в. Х:  y = y(Х). Искомая вероятность отказа системы Q = Р{y = 1} = M(y). Для входной с.в. Х пространство возможных исходов  состоит из 2⁷ = 128 значений двоичного вектора Х:

 = {(0000000), (0000001), ..., (1111110), (1111111)}. (2.35)

Чтобы выполнить эффективное расслоение эксперимента, слой _j   определим как подмножество таких значений с.в. Х, которые содержат ровно j единиц. Определяемый таким образом слой _j содержит те исходы, в которых отказывают ровно j элементов системы (j = 0, 1, ..., 7). Искомое м.о. М(у) выходной с.в. у можно выразить через условные м.о. следующим образом:

M(y) = w₀M₀  + w₁M₁ + ... + w₇M₇, (2.36)

где М_j = М(y|X  _j) – условное м.о. величины у (т. е. условная вероятность отказа системы) в слое _j;  w_j – вероятность слоя _j (т. е. вероятность того, что в системе откажут ровно j элементов).

Формула (2.36) определяет общую схему разделения исходного статистического эксперимента на эксперименты в отдельных слоях _j. Рассматривая слагаемые в правой части формулы (2.36) по отдельности, её можно существенно упростить.

Из надёжностных графов системы (табл. 2.5) видно, что система может отказать только тогда, когда откажут два или более элементов. Поэтому в формуле (2.36) заведомо М₀ = 0 (вероятность отказа системы при условии, что отказало 0 элементов, равна нулю) и М₁ = 0 (вероятность отказа системы при условии, что отказал ровно 1 элемент, тоже равна нулю). С учётом этого соотношение (2.36) принимает вид:

M(y) = w₂M₂ + ... + w₇M₇. (2.37)

Вычислим для выражения (2.37) вероятности с w₂ по w₄:

w₂ = Р{₂} = p²(1–p)⁵ = 21^.0,0002^2.0,9998⁵ = 8,3916^.10^–7;

w₃ = Р{₃} = p³(1–p)⁴ = 35^.0,0002^3.0,9998⁴ = 2,7977^.10^–10; (2.38)

w₄ = Р{₄} = p⁴(1–p)³ = 35^.0,0002^4.0,9998³ = 5,5966^.10^–14.

Вероятности w_j быстро убывают с номером слоя j, поэтому в правой части соотношения (2.37) можно, видимо, всеми слагаемыми, кроме двух-трёх первых, пренебречь. Чтобы уточнить это предположение, найдём ещё (для первого слагаемого) грубую оценку условной вероятности M₂.

Учитывая, что в системе имеются два критических элемента, при одновременном отказе которых система обязательно откажет, заключаем: вероятность M₂ (условная) отказа системы не может быть меньше вероятности 1/ 0,05 (условной) того, что откажет именноэтапара критических элементов. Таким образом:

M₂ 0,05; w₂M₂ 0,05w₂ 4,2^.10^-8. (2.39)

Отсюда видно, что слагаемое w₂M₂ в выражении (2.37) превосходит величину слагаемого w₄M₄ (даже если M₄ = 1) примерно в миллион раз. Очевидно также, что слагаемые w₅M₅, ..., w₇M₇ еще менее значимы и, следовательно, выражение (2.37) можно переписать в виде практически точного равенства:

M(y) =w₂M₂ + w₃M₃ , (2.40)

в котором, кстати, второе слагаемое тоже, как минимум, в сто раз меньше первого.

Заменяя в равенстве (2.40) математические ожидания их статистическими оценкамии, получаем следующую формулу для расчёта вероятности отказа системы через её условные вероятности отказа в слоях₂ и ₃:

. (2.41)

Это основная формула расслоенного эксперимента для нашей системы.

Из проведённого расчёта можно сделать общий вывод, что чем надёжнее элементы системы, тем быстрее убывают вероятности слоёв в формулах (2.38), тем меньше остаётся слоёв в выражении (2.37) и, следовательно, тем меньше их остаётся в формуле расслоенного эксперимента (2.41). Тем самым высокая надёжность системы – причина, усложняющая применение непосредственного статистического моделирования – становится фактором, повышающим эффективность метода расслоения.