Geodezia
.pdfляются дирекционные углы остальных сторон теодолитного хода по формулам
α |
= α |
± |
D |
– дирекционный угол последую- |
180− β испр |
||||
|
n+1 |
n |
|
|
щей стороны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180° и минус исправленный угол правый по ходу.
Если результат получился больше 360°, то из результата необходимо вычесть 360°.
Для горизонтальных углов, левых по ходу, формула вычисления дирекционных углов имеет вид
α |
= α |
± 180D |
+β испр. |
|
n+1 |
n |
|
Контроль вычисления дирекционных углов: в результате вычислений в разомкнутом теодолитном ходе получается дирекционный угол конечной стороны.
Пример вычисления дирекционных углов:
α |
= α |
± |
D |
= |
D |
|
|
D |
174 |
D |
28=′ |
|
|
226 |
D |
46′ . |
|||||
180− β |
221 14+′ |
180− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1−2 |
A−1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
= α |
± |
D |
= |
226 |
D |
46+′ |
D |
|
|
|
D |
′ |
|
|
|
D |
||||
180− β |
|
180− |
205 29= |
201 17′; |
|||||||||||||||||
|
2−3 |
1−2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
= α |
± |
D |
= |
D |
|
|
D |
174 |
D |
44=′ |
|
206 |
D |
33′ ; |
||||||
180− β |
201 17+′ |
180− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3−4 |
2−3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
= α |
± |
D |
= |
206 |
D |
33+′ |
D |
|
|
|
|
D |
|
′ |
|
|
|
D |
||
180− β |
|
180− |
203 06= |
183 27′. |
|||||||||||||||||
|
4−B |
3−4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В конце вычислений получился дирекционный угол конечной стороны.
3.1.3. Вычисление приращений координат
При решении прямой геодезической задачи получили формулы для вычисления приращений координат ∆ Х и ∆ Y,
∆ X= d cosα ;∆ =Y d sinα ,
где d – горизонтальное проложение линии; α – дирекционный угол этой линии.
Пример вычисления приращений координат:
∆ X |
= |
d |
|
cosα |
= |
142,31 cos 226D46=′ − |
97, 48 ; |
|
1−2 |
1−2 |
|
1-2 |
|
|
|
∆ X |
= |
d |
2−3 |
cosα |
= |
132,91 cos 201D17=′ − |
123,84 ; |
|
2−3 |
|
|
2-3 |
|
|
|
61
∆ X |
= |
d |
3−4 |
cosα |
= |
122,88 cos 206D33=′ − |
109,92 ; |
|
|
3−4 |
|
|
|
3-4 |
∑∆ X= − 331, 24 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
∆ Y |
= |
d |
|
|
sinα |
= |
142,31 sin 226D46=′ − |
103,68 ; |
1−2 |
1−2 |
|
1-2 |
|
|
|||
∆ Y |
= |
d |
2−3 |
sinα |
= |
132,91 sin 201D17=′ − |
48, 24 ; |
|
2−3 |
|
|
2-3 |
|
|
|||
∆ Y |
= |
d |
3−4 |
sinα |
= |
122,88 sin 206D33=′ − |
54,92 ; |
|
3−4 |
|
|
3-4 |
|
|
|||
∑∆ Y= − 206,84 .
Пример вычисления тригонометрических функций на калькуляторе приведен в приложениях 1 и 2.
3.1.4. Уравнивание линейных измерений (приращений координат)
Разность между суммой вычисленных приращений координат и теоретической суммой называется линейной невязкой хода и обозначается fХ и fY.
Уравнивание линейных измерений выполняется раздельно по осям Х и Y.
Линейная невязка вычисляется по формулам
f |
X |
= |
∑ |
∆ X− ∆ X |
теор |
; f= |
∆ −Y ∆ |
Y |
, |
||
|
|
∑ |
|
Y |
∑ |
∑ |
теор |
|
|||
где ∑∆ X и ∑∆ |
Y – сумма вычисленных приращений координат, |
||||||||||
соответственно по оси Х и Y; ∑∆ |
X теор |
и ∑∆ Yтеор – теоретическая |
|||||||||
суммаприращений координат, соответственно поосиХиY.
Теоретическая сумма приращений координат зависит от геометрии хода.
Для разомкнутого теодолитного хода теоретическая сумма вычисляется по формуле
∑ |
∆ X = X − X |
Н |
; |
∆ Y = Y− Y , |
||
теор |
К |
|
∑ |
теор К Н |
||
где ХН и YН, ХК, и YК, – координаты начальной и конечной точек теодолитного хода соответственно.
62
Прежде чем распределять невязки в приращения координат, необходимо убедиться в их допустимости, для чего вычисляется абсолютная невязка хода fР(абс),
fP(абс) = |
f X2 + fY2 ; |
||
и относительная, |
|
|
|
fотн = |
fP(абс) |
, |
|
P |
|||
|
|
||
где Р – сумма длин или горизонтальных проложений, м. Относительная невязка сравнивается с допустимой
fдопуст = |
1 |
(для 1-го разряда) или |
1 |
(для 2-го разряда). |
|
|
|||
2000 |
1000 |
|
||
Для тахеометрического хода допустимая невязка вычисляется
как |
fдопуст = |
|
1 |
|
, n – число сторон хода. |
100 |
|
||||
|
|
n |
|||
Если относительная невязка больше допустимой, то необходимо заново выполнить вычисления в пунктах 3.1.3 и 3.1.4.
В случае, когда полученная относительная невязка допустима, т.е. выполняется условие fотн ≤ fдопуст , то вычисляются поправки в приращения координат пропорционально длинам сторон. Невязки распределяются с обратным знаком на соответствующие приращения.
Поправки в приращения координат δ X и δ Y вычисляются с округлением до 0,01 м по формулам
δ |
X |
= − |
f X |
d |
; δ = − |
fY |
d |
, |
|
|
|||||||
|
|
P |
i |
Y |
P |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где δ X и δ Y – поправки в приращения координат соответственно по оси Х и Y, м; fX и fY – невязки по осям, м; Р – периметр (сумма длин), м; di – измеренная длина (горизонтальное проложение), м.
После вычисления поправок следует сделать проверку, т.е. сложить все поправки.
63
Если их сумма будет равна невязке с обратным знаком ∑δ X = − f X и ∑δ Y = − fY , то распределение невязки выпол-
нено правильно.
Полученные поправки алгебраически прибавляются к соответствующим приращениям и получаются исправленные приращения координат:
∆ X = ∆ X + δ |
X |
;∆ Y = ∆ |
Y + δ |
Y |
. |
|
испр |
вычисл |
испр |
вычисл |
|
||
Контроль: сумма исправленных приращений координат в разомкнутом теодолитном ходе должна равняться теоретической, т.е. должно выполняться равенство:
∑ |
∆ X = |
∆ X |
теор |
; |
∆ |
Y = |
∆ |
Y . |
испр |
∑ |
|
∑ |
испр |
∑ |
теор |
Пример вычисления линейной невязки
Сумма вычисленных приращений координат определяется как
∑∆ X= (− |
97, 48)+ (− 123,84)+ (− 109,92)= − 331, 24 , |
∑∆ Y= −( |
103,68)+ −( 48, 24)+ (− 54,92)= − 206,84 . |
Теоретическая сумма приращений координат в разомкнутом теодолитном ходе определяется по формуле
∑∆ X теор= X К− X Н= 903,07− 1234, 23= − 331,16 ;
∑∆ Yтеор= YК− YН= 3780,96− 3987,64= − 206,68 .
Невязки по координатным осям определяются как
f |
X |
= |
∑ |
∆ X− |
∆ |
X |
= − |
331, 24− |
−( |
331,16=) − |
0,08 ; |
|
|
|
|
∑ |
|
теор |
|
|
|
|
|||
f |
Y |
= |
∑ |
∆ Y− |
∆ |
Y |
= − |
206,84− |
−( |
206,68)= − |
0,16 . |
|
|
|
|
|
∑ |
теор |
|
|
|
|
|||
Абсолютная невязка в ходе
fP(абс) = (−0,08)2 + (−0,16)2 = 0,178 .
64
Относительная невязка |
|
|
|
|
||||||
fотносит = |
fP |
= |
0,178 |
= |
1 |
. |
1 |
≤ |
1 |
. |
|
|
|
|
2000 |
||||||
|
P 398,10 |
2211 |
2211 |
|
||||||
Так как относительная невязка меньше допустимой, то линейные невязки fХ и fY распределяются по приращениям координат.
Вычисление поправок в приращения координат:
δ |
X 1 |
= − |
f X |
|
|
d |
|
|
= − |
|
|
|
|
−0,08 |
142,31= + 0,03 ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
1−2 |
|
|
398,10 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
δ X 2 = − |
f X |
d |
2−3= − |
|
|
|
−0,08 |
132,91= + 0,03 ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
398,10 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
δ X 3 = − |
f X |
d3−4 = − |
|
|
|
−0,08 |
122,88= + 0,02 ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
398,10 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Контроль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑δ X = + 0, 08 . |
||||||||||
δ |
Y1 |
= − |
|
|
|
fY |
|
|
d |
|
|
= − |
|
−0,16 |
142,31= + 0,06 ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
1−2 |
|
|
398,10 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
δ Y 2 = − |
|
fY |
d |
2−3= − |
|
|
|
−0,16 |
132,91= + 0,05 ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
398,10 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
δ Y 3 = − |
|
fY |
d3−4 = − |
|
|
−0,16 |
122,88= + 0,05 ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
398,10 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Контроль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑δ Y = 0,16 . |
||||||||||
Вычисление исправленных приращений координат:
∆ X1−2= |
(− 97, 48)+ |
(0,03)= − 97, 45 ; |
∆ X 2−3= |
(− 123,84)+ (0,03)= − 123,81; |
|
∆ X3−4= |
(− 109,92)+ (0,02)= − 109,90 ; |
|
Контроль |
∑∆ X испр= − 331,16 . |
|
∆ Y1−2= − 103, 68+ |
0, 06= − 103, 62 ; |
|
65
∆ Y2−3= − 48, 24+ 0, 05= − 48,19 ;
∆ Y3−4= (− 54,92)+ |
0,05= − 54,87 ; |
Контроль |
∑∆ Yиспр= − 206, 68 . |
3.1.5. Вычисление координат точек теодолитного хода
Если контроль при уравнивании приращений координат выполняется, то вычисляются координаты всех точек хода по формулам:
X n+1 = X n + ∆ X испр и Yn+1 = Yn + ∆ Y испр – координата по-
следующей точки равна координате предыдущей точки плюс исправленное приращение.
Контроль вычисления координат: в результате последовательного вычисления координат точек разомкнутого теодолитного хода получаются координаты конечной точки.
Пример вычисления координат точек теодолитного хода
X 2 |
= X1 + ∆ X= 1234, 23+ (− 97, 45)= 1136,78 ; |
|||||
X 3 |
= X 2 |
+ ∆ X= |
1136,78+ |
(− 123,81)= 1012,97 ; |
||
X 4 |
= X 3 |
+ ∆ X= |
1012,97+ |
(− 109,90)= 903,07 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
Y2 |
= Y1 + ∆ Y= |
3987, 64+ −( |
103, 62)= |
3884, 02 ; |
|||
Y3 |
= Y2 |
+ ∆ Y= |
3884, 02+ −( |
48,19)= |
3835,83 ; |
||
Y4 |
= Y3 |
+ ∆ Y= 3835,83+ (− 54,87)= |
3780,96 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Контроль вычисления координат точек теодолитного хода получился.
3.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТМЕТОК ТОЧЕК ТЕОДОЛИТНОГО ХОДА
Определение превышений и отметок точек теодолитного хода возможно разными способами. В работе рассматривается способ определения превышений методом тригонометрического нивелирования.
66
Для определения превышений методом тригонометрического нивелирования измеряются углы наклона – δ , высота инструмента – i, высота визирования – V. Для примера результаты измерений приведены в табл. 8, результаты вычислений в табл. 11.
3.2.1. Вычисление превышений между точками теодолитного хода
Превышения между точками теодолитного хода вычисляются с точностью два знака после запятой по формуле
h = d tg δ + i− V ,
где h – превышение между точками теодолитного хода; d – горизонтальное проложениемежду точкамитеодолитногохода; δ – угол наклона (вертикальный угол) между точками; i – высота инструмента; V – высота визирования, V = 3 м. Результаты вычислений приведены в табл. 11.
Контроль вычисления превышений hпр = −(hобр ) . Прямое
и обратное превышения равны по величине и имеют разные знаки (плюс и минус). Допустимое расхождение в значениях
прямого и обратного превышений допускается не более 0,04d . 100
h |
|
− |
|
h |
|
≤ 0,04d . |
||
|
|
|
||||||
пр |
|
|
|
обр |
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример вычисления превышений между точками 1 и 2 (прямое):
hпр = d tg δ пр+ iпр− V = 142,31 tg (+ 1D33′)+ 1,69− 3,0= = +3,84 +1,69 − 3,0 = +2,53 м.
Превышение между точками 2 и 1 (обратное)
h = d tg δ |
обр |
+ i − V = 142,31 tg(− 0D |
23)+ 1, 41− 3,0= |
обр |
обр |
|
= −0,95 +1, 41− 3,0 = −2,54 м.
67
Таблица 11
Ведомость вычисления отметок точек теодолитного хода
|
|
Горизон- |
Направление |
|
|
Направление |
Превы- |
Превы- |
Среднее |
|
Превыше- |
Отметки |
||||||
|
точек |
тальные |
|
прямое |
|
|
обратное |
шение |
шение |
превышение |
Поправ- |
ние ис- |
точек |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теодолит- |
|||||||||
|
Угол |
Высота |
|
|
Угол |
|
Высота |
|||||||||||
|
№ |
проло- |
наклона, |
инстру- |
|
наклона, |
|
инстру- |
прямое, |
обратное, |
со знаком |
ка, ∆ h |
правлен- |
ного хода, |
||||
|
жения, d |
|
|
h1 |
h2 |
прямого, hср |
|
ное, hиспр |
||||||||||
|
|
δ |
|
мента, i |
|
|
δ |
|
мента, i |
|
Н |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121,06 |
|
142,31 |
|
+1° 33′ |
1,69 |
|
|
–0° 23′ |
|
1,41 |
2,53 |
–2,54 |
+2,54 |
+0,02 |
+2,56 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
123,62 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
132,91 |
|
+2° 39′ |
1,60 |
|
|
–1° 28′ |
|
1,65 |
+4,74 |
–4,75 |
+4,74 |
+0,02 |
+4,76 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
128,38 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
122,88 |
|
+1° 36′ |
1,68 |
|
|
–0° 15′ |
|
1,44 |
+2,11 |
–2.10 |
+2,10 |
+0,01 |
+2,11 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
130,49 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑= +9,38 |
∑=0,05 |
∑=+9,43 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
fh = ∑hср − ∑hтеор ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∑hтеор = HК − HН =130, 49 −121,06 = +9,43; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
fh = ∑hср − ∑hтеор = 9,38 − 9,43 = −0,05; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
∑di |
|
398,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
fh доп = 0,04 |
|
|
= 0,04 |
|
|
|
= ±0,09 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
100 n |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
68
Допустимое расхождение между прямым и обратным превышениями
0, 04 × 142,31 =
0, 06 м.
100
Прямое и обратное превышения отличаются на величину 0,01 м, что не превышает допустимого значения, и обратны по знаку. Контроль выполняется.
3.2.2. Вычисление средних превышений
Средние превышения вычисляются с точностью 0,01 м по формуле
hср = 0,5(hпр + hобр ) .
В формулу превышения подставляются без знака. Среднее превышение имеет знак прямого превышения.
Пример вычисления средних превышений
Среднее превышение между точками 1 и 2 вычисляется по формуле
hср = 0,5(hпр + hобр ) = 0,5(2,53 + 2,54) = 2,535 .
С учетом знака среднее превышение между точками 1 и 2 равно плюс 2,54 м.
3.2.3. Вычисление высотной невязки (уравнивание превышений)
Фактическая высотнаяневязка ходавычисляется поформуле
fh = ∑hср − ∑hтеор ,
где ∑hср – сумма средних вычисленных превышений;
∑hтеор – теоретическая сумма превышений. Теоретическая сумма превышений вычисляется как
∑hтеор = HК − HН ,
где НК и НН – отметки конечной и начальной точек теодолитного хода.
69
Вычисленная высотная невязка fh сравнивается с допустимой fh доп,
fh доп = 0,04 |
∑di |
, |
||
100 |
n |
|||
|
|
|||
где di – горизонтальное проложение; n – количество средних превышений.
Если вычисленная высотная невязка fh больше допустимой fh доп, то необходимо повторить вычисления сначала.
Если невязка fh меньше или равна допустимой fh доп, то величина fh распределяется на превышения в виде поправки с обратным знаком пропорциональногоризонтальным проложениям.
Поправкав средниепревышенияε h вычисляется поформуле
ε h i = − |
fh |
di . |
|
∑di |
|||
|
|
Контроль вычисления поправок в превышения: ∑ε h i = = −( fh ) . Суммапоправокравнаневязкесобратнымзнаком.
Пример вычисления высотной невязки Сумма средних превышений определяется как
∑hср = 2,54 + 4, 74 + 2,10 = +9,38 , м.
Теоретическая сумма превышений
∑hтеор = HК − HН = 130, 49 −121, 06 = +9, 43 , м.
Невязка хода
fh = ∑hср − hтеор = +9,38 − 9, 43 = −0, 05 , м.
Вычисленнаявысотнаяневязкасравниваетсяс допустимой,
fh доп = 0,04 398,10 = ±0,09 , м. 100 3
Вычисленная невязка меньше допустимой и распределяется на средние превышения пропорционально длинам сторон с обратным знаком.
70