- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Содержание
- •Введение
- •Теплопроводность
- •Основные положения теплообмена
- •Температурное поле
- •Температурный градиент
- •Тепловой поток
- •Закон Фурье
- •Коэффициент теплопроводности
- •Дифференциальное уравнение теплопроводности
- •Условия однозначности для процессов теплопроводности
- •Теплопроводность при стационарном режиме
- •Передача теплоты через плоскую стенку ()
- •Передача теплоты через многослойную стенку, состоящую из n однородных слоев
- •Теплопроводность через плоскую стенку. Граничное условие третьего рода
- •Нестационарные процессы теплопроводности
- •1.5.1. Аналитическое описание процесса
- •2. Конвективный теплообмен в однородной среде
- •2.1 Основные положения и определения
- •2.2 Дифференциальное уравнение конвективного теплообмена
- •2.4 Подобие и моделирование процессов конвективного теплообмена
- •2.4.2 Числа подобия
- •2.4.5 Получение эмпирических формул
- •Тепловое излучение
- •Виды лучистых потоков
- •Закон Планка
- •Закон Стефана-Больцмана
- •Закон Кирхгофа
- •Теплопередача
Коэффициент теплопроводности
Коэффициент пропорциональности в законе Фурье называется коэффициентом теплопроводности. Он является физическим свойством вещества и характеризует его способность проводить теплоту:
. (1.4)
Значение коэффициента теплопроводности представляет собой количество теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности при температурном градиенте, равном единице. В общем случае коэффициент теплопроводности зависит от рода вещества, температуры и давления.
Для большинства материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры может быть выражена линейной формулой:
(1.5)
где – коэффициент теплопроводности при температуре ; – температурная постоянная, определяемая опытным путем.
Ниже приведены значения коэффициента теплопроводности для различных материалов:
1) для газов лежит в пределах 0,005÷0,5 Вт/(м·С);
2) для жидкостей лежит в пределах 0,08÷0,7 Вт/(м·С);
3) для электроизоляционных материалов, Вт/(м·С):
- пропитанная кабельная бумага ;
- полиэтилен ;
- поливинилхлорид ;
- резина ;
- минеральное масло .
4) для металлов лежит в пределах 20÷400 Вт/(м·С):
- серебро ;
- медь ;
- золото ;
- алюминий ;
- железо .
Материалы, у которых коэффициент теплопроводности Вт/(м·С), называются теплоизоляционными.
Дифференциальное уравнение теплопроводности
В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты , введенное в элементарный объем извне за время вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников теплоты, равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в элементарном объеме:
, (1.6)
где – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем извне путем теплопроводности за время ; – количество теплоты, которое за время выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников; – изменение внутренней энергии содержащейся в элементарном объеме , за время .
Дифференциальное уравнение энергии
. (1.7)
В твердых телах перенос теплоты осуществляется по закону Фурье
.
Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси , , определяются выражениями
;;.
Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности теплового потока в уравнение (1.7), получим:
. (1.8)
Выражение (1.8) называется дифференциальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке тела, в котором происходит процесс теплопроводности.
Если принять, что теплофизические характеристики постоянны, то:
. (1.9)
В уравнении (1.9) можно обозначить:
и
где – выражение оператора Лапласа в декартовой системе координат;– коэффициент температуропроводности, являющийся мерой тепловой инерции вещества,.
Тогда
. (1.10)
Выражение в цилиндрической системе координат имеет вид:
,
где – радиус-вектор;– полярный угол;– аппликата.
Если система тел не содержит внутренних источников тепла (), тогда уравнение (1.10) принимает форму уравнения Фурье:
. (1.11)
Уравнение теплопроводности для стационарного режима, но с внутренним источником тепла превращается в уравнение Пуассона:
. (1.12)
При стационарной теплопроводности и отсутствии внутренних источников теплоты уравнение (1.9) примет вид уравнения Лапласа:
. (1.13)