1. Понятие множества. Способы задания множеств.

Множество – это объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью.

Способы задания множеств:

1. Явным перечислением элементов:

A = {a, b, c, d}

гвардия = {Иванов, Петров, Сидоров}

2. Порождающей процедурой, котрая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов или других объектов:

B = {2+ i}, где i = 0, 1, 2, 3.

B = {2+ i | i = 0, 1, 2, 3}.

3. Описанием характеристических свойств, котроыми должны обладать элементы множества

B = {x | С(x)} - задание множества (х) свойством С(x).

студенчество = {x | x - студент} - множество таких х, что х - студент.

2. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.

1. Объединение множеств A и B

A  B = { x | x  A или x  B } (или - неисключающее)

2. Пересечение множеств A и B

A  B = { x | x  A и x  B }

3. Разность множеств A и B

A \ B = { x | x  A и x  B }

4. Симметрическая разность множеств A и B

A  B = { x | (xA и xB) или (xA и xB)}=( A \ B )  ( B \ A )

5. Дополнение множества A

A = { x | x A }

Пример.

Пусть А = {1, 2, 3} и B = {3, 4}, тогда

A  B = {1, 2, 3, 4}

A  B = {3}

A \ B = {1, 2}

A  B = {1, 2, 4}

А = множество чисел кроме 1, 2, 3.

Диаграммы Эйлера-Венна позволяют представить множества, как множества точек на плоскости, оганиченные замкнутыми кривыми круглой или овальной формы. Прямоугольная рамка ограничивает универсум. Обычно, если не требуется иное, рисуют так называемый общий случай: когда каждое из множеств имеет свои собственные точки и точки, общие с другими множествами.

AB – зоны I, II, III.

AB – зона III.

A \ B - зона I.

A - все, кроме круга А.

AB - зоны I, III.

U

II

III

I

A

B

3. Алгебра множеств.

Операции над множествами дают в результате новые множества.

Для операций справедлив ряд законов. Приведем наиболее часто используемые.

Для упрощения записи, уменьшения числа скобок, определяющих последовательность операций, можно использовать соглашение о "силе" операций (в порядке убывания):

1. дополнение « »,

2. пересечение «»,

3. объединение « ».

Остальные операции можно выразить через эти три.

Законы:

1. Коммутативный:

A  B = B  A A  B = B  A

2. Ассоциативный:

A  (B  C) = A (B  C) =

= (A  B)  C = A  B  C = (A  B)  C = A  B  С

3. Дистрибутивный:

A  (B  С)= (A  B)  (A  C) A  (B  С) = (A  B)  (A  C)

4. Поглощения:

A  (A  B) = A A  (A  B) = A

5. Идемпотентности:

A  A = A A  A = A

6. Исключенного третьего: Противоречия:

A  A = U A  A = 

7. A   = A A   = 

8. A  U = U A  U = A

9. Де Моргана:

_____ ____

A  B = A  B A  B = A  B

10.  = U U = 

11. Двойного отрицания: A = A

12. A \ B = A  B

13. A  B = A  B  A  B