ВМ26

13. Интегрирование тригонометрических и иррациональных выражений

от рациональной функции переменной t.

Иногда ее использование приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. Поэтому в ряде случаев более удачно используют частные подстановки:

1)если подынтегральная функция нечетна относительно sin x, то подстановка t = cos x,

2)если подынтегральная функция нечетна относительно cos x, то подстановка t = sin x,

3)если подынтегральная функция четная относительно sin x и cos x,то подстановка t = tg x.

1)если хотя бы одно из чисел m или n нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin2 x + cos2 x = 1, оставшуюся четную степень через кофункцию, приходим к табличному интегралу,

2)если же m и n – четные неотрицательные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул:

3)если m и n – четные и хотя бы один из них отрицательный, то замена tg x = t. Интегралывида ∫sin mx cosnxdx вычисляютсяпутемразложенияподынтегральнойфункции

на слагаемые по формулам: .

Интегралы вида можно найти с помощью замены tgx = t; ctgx = t. Подынтегральное выражение в полученных интегралах будет рациональной функцией от t.

Интегралы вида ∫R(x; n1 xm1 ; n2xm2 ...)dx(m,n Z ) вычисляются подстановкой x = ts, где s – общий знаменатель дробей , т.е. интеграл приводится к рациональной

функции от переменной t: .

путем выделением полного квадрата в подкоренном выражении и соответствующей подстановки.

30

14. Определенный интеграл. Методы вычисления определенного интеграла

Пустьнаотрезке[a;b] определенафункцияf (x).Разобьемотрезок[a;b] наn частейточками a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Из каждого интервала [xi-1; xi] возьмем произвольную точку ζi

интегралом от функции f (x) в пределах от a до b и обозначается:

Функция f (x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a;b].

Если функция f (x) непрерывна на [a;b], то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на элементарные отрезки и от выбора точек ζi. Числа a и b соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Простейшие свойства определенного интеграла

для функции f (x) т.е. F' (x) = f (x).

b b

2. Интегрирование по частям: ∫udv = uv ba −∫vdu, где u = u(x) v = v(x) – непрерывно диф-

a a

ференцируемые функции на отрезке [a;b].

bβ

3.Замена переменной: ∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt, где φ (t) – функция, непрерывная вместе

aα

со своей производной φ' (t) на отрезке α ≤ t ≤ β (a = φ(α) b = φ(β)), f (φ(t)) – функция непрерывная на [α;β].

4.Если f (x) – нечетная функция, т.е. f (-x) = -f (x) то ∫a f (x)dx = 0.

−a

5.Если f (x) – четная функция, т.е. f (-x) = -f (x) то ∫a f (x)dx = 2∫a f (x)dx.

−a 0

32

Задачи

33

15. Несобственные интегралы

Несобственными интегралами называются интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций.

Интегралы с бесконечными пределами

Интегралы от разрывных функций

Если функция f (x) имеет бесконечный разрыв в точке c отрезка [a;b] и непрерывна для всех остальных значений x [a;b], то по определению полагают:

Если функция f (x) имеет разрыв при x = a, а во всех других точках отрезка [a;b] непрерывна,

Несобственный интеграл называется сходящимся, если определяющие его пределы существуют и конечны. Если же хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечно-

сти, то интеграл расходится.

Задачи

Вычислите несобственные интегралы или доказать их расходимость:

34

16. Приложения определенного интеграла

Вычисление площади плоской фигуры

В прямоугольной системе координат площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) ( f (x) ≥ 0), прямыми x = a, x = b и осью OX, вычисляется по формуле:

S = ∫b f (x)dx.

a

Если f (x) < 0, то S = −∫b f (x)dx.

a

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1 (x) и y = f2 (x) ( f1 (x) ≤ f2 (x)) и прямыми x = a, x = b, находится по формуле:

S = ∫b (f2 (x)− f1 (x))dx.

a

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой x = φ (y) (φ (y) ≥ 0), прямыми y = c, y = d и осью OY выражается формулой:

S = ∫d ϕ(y)dy.

c

Площадь фигуры, ограниченной кривыми x = φ1 (y) и x = φ2 (y) (φ1 (y) ≤ φ2 (y)) и прямыми y = c, y = d, находится по формуле:

S = ∫d (ϕ2 (y)−ϕ1 (y))dy.

c

Если кривая задана параметрически уравнениями x = x (t), y = y (t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x = a, x = b и осью OX, выражается формулой:

t2

S = ∫y(t)x'(t)dt,

t1

где t1 и t2 определяются из уравнений a = x (t1), b = x (t2) (y (t) ≥ 0 при t1 ≤ t ≤ t2). В полярной системе координат площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой,

заданной уравнением ρ = ρ (φ) и двумя полярными радиусами φ = α, φ = β (α < β), находится по формуле:

S = 1 ∫β ρ2 dϕ.

2 α

Площадь фигуры, ограниченной кривыми ρ = ρ1 (φ) и ρ = ρ2 (φ) (ρ1 (φ) ≤ ρ2 (φ)) и двумя полярными радиусами φ = α, φ = β (α < β) выражается формулой:

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая задана в прямоугольной системе координат уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b, то длина дуги этой кривой вычисляется по формуле:

l = ∫b 1+(y')2 dx.

a

35

При параметрическом задании кривой x = x (t), y = y (t) (x = x (t), y = y (t) – непрерывнодифференцируемые функции) длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t1 до t2, находится по формуле:

t2

l = ∫(x')2 +(y')2 dt.

t1

Если кривая задана в полярных координатах уравнениемρ = ρ (φ),α ≤ φ ≤ β, то длина дуги равна:

β

l = ∫ρ2 +(ρ')2 dϕ.

α

Вычисление объема тел

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси OX, может быть выражена как функция от x, т.е. в виде S = S (x) (a ≤ x ≤ b), то объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси OX плоскостями x = a и x = b, находятся по формуле:

V = ∫b S(x)dx .

a

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f (x), прямыми x = a, x = b, y = 0, вращается вокруг оси OX, то объем тела вращения вычисляется по формуле:

V =π∫b y2dx.

a

Если фигура, ограниченная кривыми y = f1 (x) и y = f2 (x) (0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x)) и прямыми x = a, x = b, вращается вокруг оси OX, то объем тела вращения равен:

b

V =π∫(y22 − y12 )dx.

a

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой x = φ (y), прямыми x = 0, y = c, y = d вращается вокруг оси OY, объем тела вращения выражается формулой:

V =π ∫d x2dy.

c

Если фигура, ограниченная кривыми x = φ1 (y) и x = φ2 (y) (0 ≤ φ1 (y) ≤ φ2 (y)) и прямыми y = c, y = d, вращается вокруг оси OY, то объем тела вращения находится по формуле:

d

V =π∫(x22 − x12 )dy.

c

Вычисление площади поверхности вращения

Если дуга кривой y = f (x) (a ≤ x ≤ b), вращается вокруг оси OX, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле:

S = 2π ∫b y1+ (y')2 dx.

a

Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x (t), y = y (t) (t1 ≤ t ≤ t2 ), то:

t2

S = 2π∫y(x')2 +(y')2 dt.

t1

Если кривая задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ (φ) (α ≤ φ ≤ β), то:

β

S = 2π ∫ρρ2 + (ρ' )2 dϕ.

α

36

Задачи

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в прямоугольной системе координат:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярной системе координат:

Вычислите объем тела, полученного вращением фигуры ограниченной линиями:

Определите площадь поверхности, образованной вращением кривой:

16.33.

16.34.

16.35.

16.36.

ОТВЕТЫ

16.9. π / 2 – 1; 16.10. 2 – 1 / In 2; 16.11. 6π; 16.12. 9π / 2; 16.13. π / 4; 16.14. π / 4 + 2; 16.15. 5π6−3; 16.16. 4π3 +23; 16.17. 278 (1010 −1); 16.18. π 22; 16.19. 8; 16.20. 3 /2 16.21. 16.22. 16; 16.23. 32π/3; 16.24. 18π; 16.25. 12π; 16.26.

16.27. 2048π/35; 16.28. 64π/3; 16.29. 16π; 16.30. 10,6π; 16.31. 128π/3; 16.32. 5π2; 16.33. 16π; 16.34. 14π/3; 16.35. 16.36. 64π/3.

37

17. Комплексные числа, действия над ними

Комплексным числом называется число вида: z = x + iy, где x, y R и i 2 = –1, x = Re z, y = Im z – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа.

Данное число можно записать в тригонометрической форме z = r (cosφ + isinφ), где r и φ –

определяется следующим образом:

Существует также показательная форма записи комплексного числа:

z = reiϕ, где

Действия над комплексными числами

Пусть z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 – комплексные числа, тогда: 1.

2.z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2).

3.z1 – z2 = (x1 – x2) + i (y1 – y2).

17.3.Представьтеследующиечиславтригонометрическойформе:z1 = 1 +i;z2 =3i; z3 = −23 + 2i; z4

ОТВЕТЫ

17.1. 17.2.17.3.

.

38

Библиографический список

1.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов /

Н.С. Пискунов. – В 2 т. Т. 1. – М.: Наука, 1975. – 456 с.

2.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный. – В 3 ч.

Ч. 1. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 256 с.

3.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников. – 6-е изд. – В 2 ч. Ч.1. – М.: Издательство «Мир и Образование», 2005. – 304 с.

39