Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ВМ26

.pdf

Скачиваний:

232

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

9. Применение производной к решению задач

Функцияy = f (x) возрастает(убывает)намножествеX,еслидлялюбыхx1,,таких,

что x1< x2 , выполняется неравенство f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)).

Если на каком-то промежутке функция y = f (x) возрастает (убывает) и дифференцируема на этом промежутке, то f ' (x) ≥ 0 (f ' (x) ≤ 0), причем равенство нулю не может быть на промежутке ненулевой длины.

Верно и обратное утверждение: если на каком-то промежутке f ' (x) ≥ 0 ( f ' (x) ≤ 0), причем равенство f ' (x) = 0 достигается лишь в конечном числе точек этого промежутка, то функция y = f (x) на этом промежутке возрастает (убывает). Отсюда следует, что если производная в точке x0 меняет знак с «+» на «-» (с «-» на «+»), то функция y = f (x) в этой точке меняет возрастание на убывание (убывание на возрастание). Тогда точку x0 называют точкой максимума (минимума), а значение функции y = f (x) в этой точке функция – максимумом

(минимумом).

Значение f (x0) функции f (x) в точке x0 называется наибольшим (наименьшим) значением этой функции, если для любого x из D( f ) выполняется неравенство f (x0)>f (x) (f (x0)<f (x)).

Дифференцируемая на (а; b) и непрерывная на [а; b] функция y = f (x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка [а; b] или в одной из точек экстремума на интервале (а; b).

График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым вниз (или вогнутым)

на (а; b), если дуга кривой y = f (x) x (a;b) расположена выше любой касательной, проведенной к графику этой функции.

График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым вверх (или выпуклым)

на (а; b), если дуга кривой y = f (x) x (a;b) расположена ниже любой касательной, проведенной к графику этой функции. Точки М (x0 ; f (x0)) графика дифференцируемой функции y = f (x), в которой направление выпуклости меняется на противоположное,

называется точкой перегиба.

Если функция y = f (x) на (а; b) дважды дифференцируема и f ' (x) > 0 х (a,b) , то график этой функции на (а; b) вогнутый (выпуклый вниз), а если f ' (x) < 0 х (a,b), то график этой функции на (а; b) выпуклый. Если для функции y = f (x), вторая производная f '' (x) в некото-

рой точке x0 обращается в ноль или не существует и при переходе через нее меняет свой знак,
то М (x0 ; f (x0)) является точкой перегиба.
Применяя производные, можно раскрывать неопределенности вида	и	. Заметим,

что если функции y = f (x) и y = φ (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращаются в ноль в этой точке f (x0) = φ (x0) = 0, причем φ' (x) ≠ 0 в окрестности точки

x или в этой окрестности	lim f (x)= lim ϕ(x)= ∞, φ' (x) ≠ 0, то		lim	f (x)	= lim	f ′(x)	=l . Эта
				ϕ(x)		ϕ (x)
0	x→x0	x→x0	x→x0		x→x0
						′

формула имеет место и в тех случаях, если а) функции y = f (x) и y = φ (x) не определены

в точке x0 , но	lim f (x)= 0 и lim ϕ(x)=0 , б) если x → ∞, в) ее можно применять еще раз, если
	x→x0	x→x0

f ' (x0) = φ' (x0) = 0 и производные f ' (x) и φ' (x) удовлетворяют тем же условиям что и функция f (x) и φ (x). Это так называемое правило Лопиталя.

Асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки по графику от начала координат. Различают асимптоты вертикальные (параллельные 0y) и наклонные. Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота. Прямая x = x0 называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если хотя бы

один из односторонних пределов в точке x0	равен бесконечности, то есть lim f (x)= ±∞
	x→x0 −0

или lim f (x)= ±∞ . Для того чтобы график функции y = f (x) имел наклонную асимптоту
x→x0 +0		f (x)
y = kx + b,необходимоидостаточно,чтобысуществовали	lim		= k	и	lim (f (x)−kx)=b.
		x
	k→±∞				k→±∞

Общая схема исследования функции и построение ее графика

Исследование функции y = f (x) целесообразно вести в определенной последовательности:

1.Найти область определения функции.

2.Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида. Указать период функции, если она периодическая.

3.Найти (если это возможно) точки пересечения графика с осями координат.

4.Найти область непрерывности функции, точки разрыва и вертикальные асимптоты.

5.Найти наклонные асимптоты графика функции.

6.Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.

7.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

Задачи

Найдите интервалы монотонности и экстремумы функций:

	9.3. y = 3		.
9.2.		(x2 −6x +5)2
9.2.		(x2 −6x +5)2

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

9.4. y = 2x3 +3x2 −12x;

x [−1;2]

9.5. y = x +33

; x [−1;1]

Найдите точки перегиба,

и вогнутости графика функции:

9.6. y = x3 −3x2 −9x +7;

9.8. y = arctgx− x.

Найдите асимптоты графика функции:

9.9.

9.10.

9.11. y = xe1x .

Проведите полное исследование функции и построить ее график:

9.12. y = x3 −3x2 ;	9.13.	y = x2 +	2	;	9.14.	9.15. y = x ex .
			x

9.16.Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

9.17.Через точку М (1; 4) провести прямую так, чтобы сумма величин положительных отрезков, отсекаемых ею на осях координат, была наименьшей. Записать уравнение этой прямой.

9.18.Три пункта А, В, и С расположены так, что угол АВС равен 60°. Из А в В движется автомобиль со скоростью 80 км/час, из В в С – поезд со скоростью 50 км/час. Через сколько времени расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если движение началось одновременно и АВ = 215 км?

9.19.Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр равен р.

Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света? Вычислите пределы с помощью правила Лопиталя:

9.20.		9.21.		9.22.
9.20.		9.21.		9.22.

9.23.	9.24.		9.25.

(n+1)!

Формулы Тейлора и Маклорена

Если функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка

такая, что справедлива формула:

f (x)= f (x

f ′(x0 )

(x − x

f ′′(x0 )

(x − x

+...+

f n (x0 )

(x − x

)n +

f (n−1)(c)

(x − x

)n+1

(n+1)!

где c = x0 +θ(x − x0 ),θ (0;1).

Эта формула называется формулой Тейлора для функции f (x). Эту формулу можно записать в виде:

						f (x)= Pn(x)+ Rn(x),
где P (x)=	f (x	)+	f ′(x0 )	(x − x	)+...+	f (n)(x0 )	(x − x	0	)n – многочлен Тейлора;

n		0	1!		0	n!

Rn(x)= f (n+1)(c)(x − x0 )n+1 – остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Rn(x) – есть погрешность приближенного равенства f (x)≈ Pn(x).

Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию y = f (x) многочленом)≈ Pn(x)с соответствующей степенью точности.

При x0 = 0 получаем частный случай формулы Тейлора – формулу Маклорена:

f (0)

f (0) 2

(n)

(0)

(n+1)

(c)

n+1

f (x)= f (0)+

′

x +

′′

x +...+

x +

(n+1)!

где c =θ x,θ (0;1).

Рассмотреннаяранееформуладляприближенныхвычислений f (x)≈ f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ) является частным случаем более точной формулы:

f (x)≈ f (x

f ′(x0 )

(x − x

f ′′(x0 )

(x − x

+...+

f n (x0 )

(x − x

Задачи

9.26.Разложите многочлен P(x)= x3 +4x2 −6x −8 по степеням x + 1.

9.27.Разложите по формуле Тейлора функцию f (x)= 1x в точке x + 1.

9.28.С точностью до 0,0001 вычислите sin10, использую формулу Маклорена.

9.29.Используя формулу Маклорена, докажите неравенство ln(1+ x) < х.

9.30.Используя формулу Маклорена, вычислите пределы:

−х2

−cos x

х−ln(1+ х)

а)

lim

;

б)

lim

x→0

ОТВЕТЫ

9.16.

;

9.17. y = -2x + 6; 9.18.

105

мин.;

9.19.

;

2 p

;

9.20. -2; 9.21. 0; 9.22. 1;

π +4

9.23. 1; 9.24. ∞; 9.25. -0,5; 9.28. 0,0175; 9.30. а) 112 ; б) 0,5.

Подготовка к контрольной работе по теме «Производная функции»

Приведены два варианта, идентичные вариантам контрольной работы:

№ 100

№ 101

;

10.

ОТВЕТЫ

Вариант 100: 1. −

sin(ln x)

;

; 3.

9e3x (1− x)

; 4.

;

(2 −3x)2

2(t −2) 1−t

4 x

2x2 y2 − y

−dx

sin

xctg

4 ln sin

;

7. 30(

5x −1);

;

x − x3 y

cos x

cos 2x

; 10.

2arctgx

Вариант

101: 1.

; 2.

; 3.

; 4.

;

1+ x2

6x sin2 x −

sin 3x

2sin 3x

;

(2x

−1)

3cos 3x ln(2x −1)

;

sin2

x(ctgx+2x3 )ln10

2x −1

2xe−xy − y

; 9. 480(3 −4x)4 ;

10. 4сtg4t.

10. Понятие и свойства неопределенного интеграла. Непосредственное интегрирование

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F ' (x) = f (x) или, что тоже самое, dF (x) = f (x)dx.

Если F (x) – первообразная функции y = f (x), то выражение F (x) + C, где C – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и отображается

символом .Функция f (x) называется подынтегральной функцией, переменная x – переменной интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть:

а. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d(∫ f (x)dx)= d(F(x)+c)= d(F(x))= f (x)dx.

2.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс постоянная ∫dF(x)= F(x)+c .

3.Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, т.е. .

4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от каждой функции в отдельности .

5.При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно использовать следующие правила: если, то:

;

6.Пусть дан интеграл, в котором подынтегральное выражение может быть записано в виде f (u)du, где u = φ (x) – любая дифференцируемая функция и, следовательно, d (u) = φ' (x) dx. Иными словами f (u)du = f (φ(x)) φ' (x) dx , тогда:

или .

Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой, независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

Таблица основных интегралов

			Задачи
Внесите функции под знак дифференциала:
10.1.	10.2.		10.3.		10.4.
10.1.	10.2.		10.3.		10.4.

10.5.	10.6.		10.7.	10.8.
10.9.		10.10.	10.11.			10.12.
10.9.		10.10.	10.11.			10.12.

Найдите интегралы:

10.13. 10.16. 10.19. 10.22. 10.25.

10.28. 10.31.

10.34.

10.37.

10.14.	10.15.
10.17.	10.18.
10.20.	10.21.
10.23.	10.24.
10.26.	10.27.
10.29.	10.30.
10.32.	10.33.
10.35.	10.36.
10.38.	10.39.
	ОТВЕТЫ

10.1.	1 d(x +5)2			;	10.2.		2d		10.3.		1 d ln			1 d ln	3	−2x		;	10.5. −d cos x;
10.1.	1 d(x +5)2			;	10.2.		2d	x +2;	10.3.		1 d ln	4x −1;	10.4. −	1 d ln	3	−2x		;	10.5. −d cos x;
	2										4		(4x +3)34	2
	2										4			2
	1 d sin 3x;							1
10.6.						10.20.		1		+C;	10.21.			+C;		10.22.				x2 −4 +C;
10.6.						10.20.		35−25x		+C;	10.21.			+C;		10.22.				x2 −4 +C;
	3							35−25x
10.26.	−	ln	4ctg3x −1				+C;	10.					10.34.			−			1		+C;
		ln	4ctg3x −1																1
				12													ln 7(7x−1 +5)7
10.36.	− 1 arcctg2				x	+C; 10.38.
	6				3

11. Методы интегрирования: метод подведения под знак дифференциала, метод замены переменной и метод интегрирования по частям

Метод подведения под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить интеграл вида ∫ f (ϕ(x)) ϕ′(x)dx. По определению дифферен-

циала ∫ϕ′(x)dx = d(ϕ(x)), тогда ∫ f (ϕ(x)) ϕ′(x)dx = ∫ f (ϕ(x)) d(ϕ(x)) = ∫ f (u)du.

При интегрировании методом «подведения под знак дифференциала» используют свойство дифференциала:

du = d(u +a);du = 1a d(au);udu = 12 d(uu22););cos udu = d(sinu); u1 du = d(lnu)и т д.

С другой стороны, для нахождения неопределенного интеграла и для подведения под знак дифференциала используют табличные интегралы:

∫x2dx = 13 x3 +c x2dx = 13 d(x3 ), и т.д.

Метод замены переменной

Пусть требуется найти интеграл ∫ f (x)dx . Сделаем замену переменной в подынтегральном

выражении, положив x = φ(t), где φ(t) – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда dx = φ'(t)dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования получаем формулу интегрирования подстановкой:

∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t)) ϕ′(t)dt.

Функцию x = φ(t) следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл непосредственно.

Метод интегрирования по частям

Пусть u и v – две дифференцируемые функции от x. Тогда:

или ∫udv =uv −∫vdu – это формула интегрирования по частям.

Иногда для получения окончательного результата нужно метод интегрирования по частям применять последовательно несколько раз.

Часто встречающиеся интегралы, которые вычисляются данным методом:

1.	Интегралы вида	∫P(x)ekxdx; ∫P(x)sin kxdx; ∫P(x)cos kxdx, где P(x)	–	многочлен,
		kx
		e
	k – некоторое число. Здесь u = P(x) и dv = sin kx dx .

		cos kx
2.	Интегралы вида	∫P(x)ln xdx; ∫P(x)arcsin xdx; ∫P(x)arctgxdx, где P(x)	–	многочлен.
		ln x

В этом случае dv = P(x)dx и u = arcsin x .

arctg x

3.Интегралы вида ∫eax sin bxdx; ∫eax cosbxdx, где a и b – числа. Эти интегралы вычисляются двукратным интегрированием по частям.

Найдите интегралы:								Задачи
Найдите интегралы:
11.1.						11.2.				11.3.


11.4.						11.5.				11.6.


11.7.						11.8.				11.9.





11.10.						11.11.				11.12.




11.13.						11.14.				11.15.




11.16.						11.17.				11.18.


11.19.						11.20.				11.21.


11.22.						11.23.				11.24.
11.22.						11.23.				11.24.
11.25.						11.26.				11.27.
11.25.						11.26.				11.27.
11.28.						11.29.				11.30.


11.31.	;					11.32.				11.33.
11.31.						11.32.				11.33.
11.34.						11.35.				11.36.
11.37.						11.38.				11.39
	;
	;
							ОТВЕТЫ
							ОТВЕТЫ

																ex +1	−1
11.19.		2arctg 3x −1 +C;				11.20.−2 x −8ln			4	− x	+C;	11.24.		ln		ex +1	−1		+C;

																ex +1	+1
								e3x (9x2 −					x2 +1			ex +1	+1
11.28.	(4x +6)sin		x	+8cos	x	+C; 11.30.				6x −7)+C;		11.32.	x2 +1		arcctgx+			x	+С.
11.28.	(4x +6)sin			+8cos		+C; 11.30.				6x −7)+C;		11.32.			arcctgx+				+С.
	2			2			27						2				2

12. Интегрирование рациональных функций

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т.е. в виде отношения двух многочленов:

Pn (x) = a0 + a1 x +...+ anxn . Qm (x) b0 +b1 x +...+bm xm

Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае – неправильная. Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

P(x)

= S(x)+

R(x)

, где S(x) – многочлен, а

R(x)

– правильная дробь.

Q(x)

Правильные рациональные дроби вида:

;

II.

; III.

Ax + B

;

IV.

Ax + B

x − a

(x − a)k

x2 + px +q

(x2 + px +q)k

где k ≥ 2 – целое

число;

−4q

< 0 , называются

простейшими.

Каждая правильная

рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей.

Так как всякий многочлен с вещественными коэффициентами степени выше второй можно разложить единственным образом на линейные и квадратные множители с вещественными коэффициентами, то пусть для определенности:

Q(x) = (x −a1 )k1 (x −a2 )k2 ...(x −as )ks (x2 + p1x +q1 )r1 ...(x2 + pm x +qm )rm .

Разложение знаменателя Q(x) рациональной дроби на множители тесно связаны с разложением дроби на простейшие, при этом необходимо знать:

1. Каждомунеповторяющемусямножителювида(x – a)соответствуетвразложенииодна

простая дробь x −a .

2.Каждому множителю (x – a)k отвечает сумма k простых дробей вида

xA−1 a + (x −A2a)2 + (x −A3a)3 +...+ (x −Aka)k .

3.Неповторяющемуся множителю x2 + px + q отвечает в разложении одна дробь вида

Mx + N	.
x2 + px +q

4. Каждому множителю (x2 + px + q)r отвечает r простых дробей вида

Таким образом, зная разложение Q(x), известны знаменатели всех тех простых дробей, на которыеразлагаетсяданнаядробь QP((xx)) .ОстаетсятолькоопределитькоэффициентыA,M,N.

Наиболее простыми методами определения коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие является метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.