II. Пример.
Дана схема, изображенная на рисунке 2.9. Напряжение на зажимах цепи изменяется по закону:
U = 10 sin t
Даны параметры: R1, = 5Ом,R2= 7Ом,L= 0,1Г,С= 135мк Ф,f= 40Гц.
Рис 29 Схема для расчета цепи
Определить: показание амперметра, закон изменения тока в цепи, построить векторную диаграмму.
11.1. Определяют реактивные сопротивления. Индуктивное сопротивление:
XL = t.
XL = 2 f L = 2 40 0,1 = 25,1 Ом
Емкостное сопротивление:
11.2. Так как все элементы цепи на рисунке 2.9 соединены последовательно, то по ним протекает один и тот же ток. Определяют его по закону Ома как частное от деления напряжения на зажимах цепи на полное сопротивление цепи.
11.2.1. Амперметр показывает действующее значение тока, поэтому необходимо воспользоваться действующим значением приложенного напряжения:
11.2.2. Полное сопротивление цепи определяют исходя из следующих соображений.
Напряжения на активных сопротивлениях цепи совпадает по фазе, следовательно, активное напряжение цепи
Ur = Ur1 + Ur2,
откуда, разделив правую и левую части равенства на ток, получают
r = r1 + r2.
Напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе противоположны по фазе, следовательно, реактивное напряжение цепи
Up = UL – UC,
откуда, разделив правую и левую части равенства на ток, получают
X = XL – XC = L – 1/ c.
Известно, что активное и реактивное сопротивление цепи с последовательным соединением параметров складываются квадратично, следовательно, полное сопротивление электрической цепи находят по выражению:
11.2.3. Показание амперметра:
11.3. Прежде, чем написать закон изменения тока в цепи, можно построить векторную диаграмму, из которой можно определить, опережает или отстает ток по фазе от приложенного напряжения.
На векторной диаграмме должны быть представлены в векторной форме все токи и напряжения, реально существующие в цепи. Из рисунка 2.9 видно, что по всем элементам цепи протекает один и тот же ток. На всех сопротивлениях он вызывает падения напряжений, сумма которых равна сетевому напряжению (согласно второму закону Кирхгофа).
Как правило, векторная диаграмма отроится для действующих значений токов и напряжений. Ток рассчитан в п. 11.2.3. Определим величины падений напряжений на сопротивлениях:
Ur1 = Ir1 = 0,58 5 = 2,9 B
Выбирают масштабы для тока и напряжения. Пусть, например, в 1 см. содержится 0,1 А, и в 1 см, - 2В. Построение векторной диаграммы для цепи с последовательным соединением элементов удобнее начать с вектора тока. От произвольной точки плоскости в произвольном направлении откладывают вектор токаI(рисунок 2.10)
Напряжение на активном сопротивлении r1совпадает по фазе с током, поэтому векторUrсовпадает по направлению с вектором токаI.
Напряжение на катушке UL, опережает ток по фазе на90°. Из конца вектораUrlоткладывают векторULпод углом90°, причем, угол отсчитывают от вектора тока против часовой стрелки.
Напряжение на конденсаторе отстает от тока по фазе на угол девяносто градусов. Поэтому от конца вектора UI. откладывают векторUcпод углом90°по отношению к вектору тока, причем, угол отсчитывается по часовой стрелке.
Рис. 2.10. Векторные диаграммы при последовательном и параллельном соединении параметров цепи
Напряжение на сопротивлении r2совпадает с током по фазе. Поэтому от конца вектораULоткладывают векторUIпараллельно вектору тока. Направления векторовUr2иIдолжны совпадать.
Так как по второму закону Кирхгофа можно записать:
U = Ur1 + UL + UC + Ur2
то, соединяя начало вектора Ur1с концом вектораUr2, получают вектор сетевого напряженияU. Из рисунка 2.10 видно, что вектор сетевого напряжения отстает по фазе от вектора тока, следовательно, полное сопротивление цепи носит активно-емкостный характер.
11.4. Известно, что в линейных электрические цепях ток изменяется по синусоидальному закону, если по этому же закону изменяется питающее напряжение.
По условию
U = Um sin t
Вектор тока опережает вектор сетевого напряжения на угол , следовательно, закон изменения тока в цепи по рисунку 2.10 можно написать так:
Определим численное значение угла :
«Минус» свидетельствует о том, что вектор напряжения является отстающим по фазе. Это равнозначно утверждению: вектор тока является опережающим по фазе. Поэтому в формулу закона изменения тока величина угла войдет со знаком «плюс».
