00_-_Tekhnicheskaya_mekhanika_metoda
.pdf
σ = |
M |
y = |
M |
(0,5h − t); |
τ = |
QSzo |
= |
Qtb(h − t)0,5 |
, |
|
|
|
|
||||||
|
Iz |
|
I z |
|
sIz |
|
sIz |
||
где Szo - статический момент отсеченной части сечения сверху от точки 3. Для точки 2 , так как σ = 0, условие прочности принимает вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3τ2 ≤ Ry γc , |
||
где τ = |
QSzo |
= |
0,5Q[bt(h − t) + (0,5h − t)2 s] |
при Szo , взятым для половины высоты |
||
sIz |
|
|||||
|
|
sIz |
||||
сечения (по сортаменту).
Задача 3.3. Определение усилий в сечениях статически определимой рамы
Литература: [1, c. 54-59], [2, c. 16-20], [3, c. 98-101], [4, c. 12-21].
Исходные данные к задаче определяются по табл. 1.2 и схемам, представленным на рис. 1.3 (см. задачу 1.2 РГР № 1).
Задание.
∙Построить эпюры изгибающих моментов MF , поперечных сил QF и продольных сил NF.
Последовательность расчета
3.3.1.Изобразить в масштабе схему рамы с указанием размеров и действующих нагрузок.
3.3.2.Изобразить расчленение рамы на диски с указанием всех реакций в связях, определенных при выполнении задачи 1.2.
3.3.3.Построить эпюры поперечных сил QF, изгибающих моментов MF и продольных сил NF. для отдельных дисков с последующим их объединением для всей расчетной схемы.
3.3.4.Произвести проверку правильности построения эпюр усилий.
При правильном построении эпюр QF и MF должны соблюдаться все положения, вытекающие из дифференциальных зависимостей при изгибе.
Правильность построения всех трех эпюр производится проверкой равновесия узлов.
Каждый узел рамы “ вырезается” из расчетной схемы, действие на него отброшенных частей заменяется усилиями в расчетных сечениях. Для каждого узла должны соблюдаться уравнения равновесия ΣX = 0, ΣY= 0, ΣMузл = 0.
21
Задача 3.4. Определение усилий в сечениях трехшарнирной рамы
Литература: [1, c. 54-59], [2, c. 16-20], [3, c. 98-101], [4, c. 12-21].
Исходные данные к задаче определяются по табл. 1.2 и схемам, представленным на рис. 1.4 (см. задачу 1.3 РГР № 1).
Задание.
∙Построить эпюры изгибающих моментов MF , поперечных сил QF и продольных сил NF.
∙Проверить прочность одной из стоек рамы (по выбору) при одно-
временном действии растяжения (сжатия) и изгиба.
Указание. Материал стойки – сосна. Сечение прямоугольное: h = 300 мм, b = 200 мм.
Последовательность расчета
3.4.1.Изобразить в масштабе схему рамы с указанием размеров и действующих нагрузок.
3.4.2.Изобразить расчленение рамы на диски с указанием всех реакций в связях, определенных при выполнении задачи 1.3.
3.4.3.Построить эпюры поперечных сил QF, изгибающих моментов MF и продольных сил NF. для отдельных дисков с последующим их объединением для всей расчетной схемы.
3.4.4.Произвести проверку правильности построения эпюр усилий.
При правильном построении эпюр QF и MF должны соблюдаться все положения, вытекающие из дифференциальных зависимостей при изгибе.
Правильность построения всех трех эпюр производится проверкой равновесия узлов.
Каждый узел рамы “ вырезается” из расчетной схемы, действие на него отброшенных частей заменяется усилиями в расчетных сечениях. Для каждого узла должны соблюдаться уравнения равновесия ΣX = 0, ΣY= 0, ΣMузл = 0.
3.4.5.Определить геометрически характеристики сечения: площадь A, момент инерции Iz момент сопротивления Wz.
3.4.6.Определить значения нормальных напряжений в наиболее удаленных волокнах опасного сечения
σ = N ± M max ,
AWz
ипостроить эпюру нормальных напряжений.
3.4.7.Произвести проверку прочности для наиболее удаленных волокон
σ≤ R.
22
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4
РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ
Литература: [1, c. 269-301], [2, c. 115-140], [3, c. 254-301], [4, c. 115-153].
Исходные данные к задаче определяются по табл. 4.1 и схемам, представленным на рис.4.1.
Задание.
∙Построить эпюры изгибающих моментов MF , поперечных сил QF и продольных сил NF в статически неопределимой раме, используя метод сил.
Таблица 4.1
Исходные данные к РГР № 4
Первая |
|
|
Вторая |
|
|
Третья |
|
|
|
q1, |
q2, |
F1, |
F2, |
цифра |
l, |
h, |
I2:I1 |
||
цифра |
кН/м |
кН/м |
цифра |
кН |
кН |
шифра |
м |
м |
|
шифра |
|
|
шифра |
|
|
(№ схемы) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
20 |
0 |
0 |
100 |
0 |
0 |
6 |
4 |
2 |
1 |
0 |
20 |
1 |
0 |
100 |
1 |
8 |
4 |
3 |
2 |
30 |
0 |
2 |
120 |
0 |
2 |
10 |
5 |
4 |
3 |
0 |
30 |
3 |
0 |
120 |
3 |
12 |
5 |
2 |
4 |
24 |
0 |
4 |
160 |
0 |
4 |
14 |
6 |
4 |
5 |
0 |
24 |
5 |
0 |
160 |
5 |
16 |
6 |
3 |
6 |
16 |
0 |
6 |
200 |
0 |
6 |
9 |
4,5 |
3 |
7 |
0 |
16 |
7 |
0 |
200 |
7 |
10 |
4 |
2 |
8 |
32 |
0 |
8 |
180 |
0 |
8 |
12 |
6 |
3 |
9 |
0 |
32 |
9 |
0 |
180 |
9 |
14 |
5 |
4 |
Последовательность расчета
4.1. Изобразить в масштабе расчетную схему рамы с указанием размеров и приложить заданную нагрузку.
4.2. Определить степень статической неопределимости рамы
|
nс = 3К – Ш, |
где nс – |
степень статической неопределимости или число так называемых |
“ лишних” |
связей, К – число замкнутых контуров, а Ш – число простых |
шарниров в расчетной схеме, включая опорные, или число связей, необходимых для полного защемления всех узлов расчетной схемы.
23
0 |
|
q 2 |
|
|
F 1 |
I 2 |
F 2 |
|
q 1 |
|
|
|
||
|
I 1 |
|
|
I 2 |
|
|
I 1 |
I 1 |
|
|
l /2 |
l /2 |
l /2 |
l /2 |
1 |
|
|
|
F 2 |
q 1 |
I 2 |
|
I 2 |
|
|
|
|
|
F 1 |
q 2 
I 1 |
I 1 |
I 1 |
5 |
|
|
|
F 1 |
h |
|
F 2 |
I 2 |
|
|
|
|
|
|
q 1 |
|
I 2 |
q 2 |
|
h |
|
|
|
|
|
I 1 |
I 1 |
|
I 1 |
|
l /2 |
l /2 |
l /2 |
l /2 |
6 |
|
q |
2 |
F 1 |
|
|
|||
q 1 |
I 2 |
|
I 2 |
|
h |
|
F 2 |
|
|
|
|
|
|
|
h |
I 1 |
|
I 1 |
I 1 |
|
|
|
l /2 |
l /2 |
l /2 |
l /2 |
2 |
|
F 2 |
|
|
q 1 |
I 2 |
|
|
F 1 |
|
q 2 |
|
|
I 2 |
|
|
I 1 |
I 1 |
I 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
l /2 |
l /2 |
|
7 |
|
|
q 1 |
F 1 |
h |
I |
2 |
|
|
I 2 |
F 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
I 1 |
|
q 2 |
I 1 |
I 1 |
|
|
|
l /2 |
l /2 |
l /2 |
l /2 |
3 |
q 2 |
|
|
I 2 |
|
|
F 1 |
F 2 |
|
|
|
I 1 |
q 1 |
I 2 |
|
|
I 1 |
I 1 |
|
l /2 |
l /2 |
l /2 |
l /2 |
4 |
|
|
q 2 |
F 2 |
F 1 |
I 2 |
|
|
|
|
|
|
I 2 |
q 1 |
|
I 1 |
I 1 |
I 1 |
|
l /2 
l /2 
l /2 
l /2 
|
|
l /2 |
l /2 |
l /2 |
l /2 |
|
8 |
|
|
|
F 2 |
|
|
|
|
|
|
h |
F 1 |
q 1 |
|
|
I 2 |
|
|
|
|
||
h |
|
I 2 |
q 2 |
|
|
|
I 1 |
I 1 |
I 1 |
||
|
|
||||
|
|
|
l |
l /2 |
l /2 |
|
9 |
|
F 2 |
|
q 1 |
|
|
|
|
||
h |
q 2 |
I 2 |
|
|
I 2 |
|
|
F 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
I 1 |
|
I 1 |
I 1 |
|
|
|
|||
|
|
l /2 |
l /2 |
l /2 |
l /2 |
Рис. 4.1. Расчетные схемы к РГР № 4
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
24
4.3. Выбрать две статически определимые и геометрически неизменяемые
основные системы путем удаления “ лишних” |
связей, приложив по их на- |
правлению соответствующие неизвестные X1, |
X2,… Xn. Более рациональную |
из этих основных систем использовать для дальнейшего расчета.
4.4. Записать в общем виде систему канонических уравнений метода сил применительно к данной расчетной схеме.
4.5. Показать расчетные схемы основной системы при последовательном загружении единичными безразмерными силами, приложенными по направлениям удаленных связей. На расчетных схемах показать опорные реакции,
определить их и построить эпюры изгибающих моментов M |
0 |
, M |
0 |
,..., M |
0 . |
|
1 |
|
2 |
|
n |
4.6. Показать расчетную схему основной системы при загружении ее внешней нагрузкой, определить опорные реакции и построить в основной системе эпюру изгибающих моментовM F0 .
4.7. Определить коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений
m l |
M i0 M |
0 |
|
|
δik = ∑ ∫ |
|
k |
dx , |
|
EI |
|
|||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
где m - число участков интегрирования.
4.8. Определить свободные члены системы канонических уравнений
m l |
M i0 M |
0 |
dx . |
|
∆ iF = ∑ ∫ |
|
F |
||
EI |
|
|||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
4.9.Подставить найденные значения коэффициентов и свободных членов
всистему канонических уравнений и решить ее относительно неизвестных
Xi.
4.10. Построить эпюры изгибающих моментов от действительных значений реакций в удаленных связях. Для этого все ординаты эпюр M i0 (i = 1… n)
умножаются на соответствующую величину Xi.
4.11. Построить эпюру изгибающих моментов в заданной расчетной схеме на основании принципа независимости действия сил
MF = M10 X1 + M 20 X 2 + ... + M n0 X n + M F0 .
4.12.Произвести деформационную проверку расчета. Для этого берется любая другая статически определимая основная система (например, вторая из выбранных в п. 4.3), в которой строится эпюра изгибающих моментов
M s0 = ∑ M i0 от одновременного действия на нее всех единичных сил, прило-
n
женных по направлениям удаленных связей. При правильно выполненном расчете должно выполняться условие
25
m l |
|
0 |
M F |
|
|
|
|
||||
∑ ∫ |
M s |
dx = 0 . |
|||
|
|
||||
1 0 |
|
|
EI |
||
|
|
|
|
|
|
Деформационная проверка будет выполняться и в том случае, если в приведенной формуле вместо M s0 использовать любую из эпюр M i0 основной
системы.
Примечание. Деформационная проверка имеет смысл, если выбранная для проверки новая основная система дает эпюры M i0 , линейно независимые (не подобные) эпюрам M i0 , использованным в расчете.
4.13.Построить эпюру поперечных сил QF в заданной расчетной схеме, используя дифференциальную зависимость QF = dM/dx.
4.14.Построить эпюру продольных сил NF. Значения продольных сил в стержнях рамы определяются из условий равновесия ее узлов. К вырезанным узлам кроме неизвестных продольных сил прикладываются найденные поперечные силы и известные узловые нагрузки.
4.15.Произвести проверку равновесия системы. При выполнении данного пункта рекомендуется рассмотреть два сечения: сечение, проведенное по опорным связям (рассматривается равновесие всей рамы), и сечение, проведенное в любом месте расчетной схемы (рассматривается равновесие отсеченной части). При правильном построении эпюр для любой отсеченной час-
ти |
системы |
должны |
выполняться |
уравнения |
равновесия |
∑ X = 0; ∑Y = 0; ∑ M c = 0 , где c - любая точка на плоскости. |
|
||||
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5
РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Литература: [1, c. 380-419]; [2, c. 141-149]; [3, c. 398-413]; [4, c. 202-223].
Исходные данные к работе определяются по табл. 5.1 и схемам, представленным на рис. 5.1.
Задание.
∙Построить эпюры изгибающих моментов MF , поперечных сил QF и продольных сил NF в статически неопределимой раме, используя метод перемещений.
26
Последовательность расчета
5.1.Вычертить в масштабе расчетную схему рамы с указанием размеров, величин нагрузок и соотношений жесткостей.
5.2.Определить степень кинематической неопределимости рамы (число неизвестных метода перемещений):
nк = nу + nл ,
где nу − число жестких узлов расчетной схемы, способных к повороту при ее деформации;
nл − число возможных линейных смещений всех узлов расчетной схемы.
Таблица 5.1
Исходные данные к РГР № 5
Первая |
|
|
Вторая |
|
|
Третья |
|
|
|
|
|
F1, |
F2, |
q1, |
q2, |
цифра |
l, |
h, |
|
|
|||
цифра |
цифра |
I2 |
: I1 |
||||||||
кН |
кН |
кН/м |
кН/м |
шифра |
м |
м |
|||||
шифра |
шифра |
|
|
||||||||
|
|
|
|
(№ схемы) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
160 |
0 |
0 |
20 |
0 |
0 |
10 |
8 |
|
2 |
|
1 |
0 |
160 |
1 |
0 |
20 |
1 |
8 |
6 |
|
3 |
|
2 |
240 |
0 |
2 |
40 |
0 |
2 |
6 |
6 |
|
3 |
|
3 |
0 |
240 |
3 |
0 |
40 |
3 |
12 |
8 |
|
4 |
|
4 |
300 |
0 |
4 |
36 |
0 |
4 |
10 |
6 |
|
3 |
|
5 |
0 |
300 |
5 |
0 |
36 |
5 |
8 |
5 |
|
6 |
|
6 |
360 |
0 |
6 |
30 |
0 |
6 |
6 |
4 |
|
4 |
|
7 |
0 |
360 |
7 |
0 |
30 |
7 |
12 |
6 |
|
2 |
|
8 |
200 |
0 |
8 |
24 |
0 |
8 |
8 |
8 |
|
2 |
|
9 |
0 |
200 |
9 |
0 |
24 |
9 |
9 |
6 |
|
4 |
5.2.Получить основную систему метода перемещений, введя дополнительные связи по направлениям возможных углов поворота жестких узлов и линейных смещений всех узлов.
5.3.Записать систему канонических уравнений метода перемещений в общем виде применительно к заданной схеме рамы.
5.4.Построить в основной системе метода перемещений деформированные схемы от последовательных единичных смещений по направлению дополнительных связей.
5.5.Используя таблицы реакций (п.п. 1- 4 прил. 7), построить эпюры изгибающих моментов Мi0 от указанных в п. 4.4 единичных смещений
5.6.Используя таблицы реакций (п.п. 5 - 8 прил. 7), построить в основной системе метода перемещений эпюру от заданного загружения.
27
0 |
F 1 |
|
q 2 |
|
|
I 2 |
I 2 |
0,5h |
F 2 |
|
|
q 1 |
|
|
I 1 |
I 1 |
0,5h |
l |
0,5l |
0,5l |
1 |
|
|
q 2 |
|
F 1 |
|
I 2 |
|
I 2 |
0,5h |
|
F 2 |
|
|
|
|
q 1 |
I 1 |
|
0,5h |
|
|
|
|
|
|
I 2 |
|
I 2 |
|
|
l |
0,5l |
0,5l |
|
2 |
q 1 |
|
|
|
|
I 2 |
q 2 |
|
|
|
F 2 |
|
F 1 |
h |
|
I 1 |
|
|
|
I 2 |
I 2 |
0,5l 
0,5l 
0,5l 
0,5l
3 |
q 1 |
|
|
F 1 |
|
|
|
|
|
I 2 |
|
I 2 |
F 1 |
|
|
0,5h |
|||
F 2 |
q 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I 1 |
|
I 1 |
I 1 |
0,5h |
|
l |
|
l |
|
4 |
F 1 |
|
q 2 |
F 2 |
|
|
|
|
|
I 2 |
|
I 2 |
|
|
q 1 |
|
|
|
h |
I 1 |
|
I 1 |
|
|
0,5l |
0,5l |
|
l |
|
5 |
|
F 1 |
|
q 2 |
|
|
|
|
|
||
|
I 2 |
F 2 |
I 2 |
0,5h |
|
|
q 1 |
|
0,5h |
||
|
I 1 |
|
|||
|
|
|
I 1 |
||
0,5l |
|
0,5l |
|
l |
|
6 |
|
q 2 |
|
F 1 |
|
|
|
|
|||
I |
2 |
|
I 2 |
0,5h |
|
|
|
F 2 |
|
||
|
|
q 1 |
|
|
|
|
|
I 1 |
|
0,5h |
|
|
|
|
I |
||
|
|
|
1 |
||
|
|
l |
0,5l |
0,5l |
|
7 |
|
q 1 |
|
|
F 1 |
|
|
|
|
|
|
q 2 |
I 2 |
I 2 |
0,5h |
||
|
|
|
|
F 2 |
0,5h |
I 1 |
|
I 1 |
|
I |
|
|
|
1 |
|||
|
l |
|
l |
|
|
8 |
|
q 1 |
|
|
|
I 2 |
I 2 |
0,5h |
|||
q 2 |
|
|
|
F 2 |
|
I 1 |
|
|
I 1 |
|
0,5h |
|
|
|
|
||
|
l |
|
l |
|
|
9 |
|
F 1 |
|
q 2 |
|
I 2 |
|
I 2 |
|
||
|
|
F 2 |
q 1 |
h |
|
|
|
|
|||
|
|
I 1 |
|
|
|
|
|
I 2 |
|
|
|
0,5l |
|
0,5l |
|
l |
|
Рис. 5.1. Схемы заданий к РГР № 5
28
5.7.Определить коэффициенты при неизвестных (реакции в дополнительных связях от единичных смещений) и свободные члены (реакции в дополнительных связях от действия внешней нагрузки) системы канонических уравнений.
Указания
∙Реакция в дополнительной угловой связи определяется непосредственно из равновесия жесткого узла, в который введена угловая связь.
∙Реакция в дополнительной линейной связи ортогональных рам определяется из условия равновесия отсеченной части основной системы. При этом сечение (сквозное или замкнутое) проводится параллельно оси линейной связи через все стержни схемы, получившие деформации (см. п. 5.4) при смещении по направлениюданной связи.
∙Реакция в дополнительной связи считается положительной, если она направлена в сторону заданного в п. 5.4. смещения этой связи.
∙Все схемы по определению реакций в дополнительных связях должны быть приведены на чертеже.
5.8.Записать систему канонических уравнений метода перемещений в численном виде и из ее решения найти неизвестные Zi.
5.9.Определить изгибающие моменты в основной системе от действительных смещений по направлению дополнительных связей (построить эпюры ) и на основании принципа независимости действия сил построить эпюру изгибающих моментов в заданной расчетной схеме
M F = M 10 Z1 + M 20 Z 2 + ... + M n0 Zn + M F0
5.10. Произвести проверки правильности построения эпюры :
∙Для каждого жесткого узла заданной расчетной схемы должно выполняться уравнение равновесия.
∙Для всей рамы должна выполняться деформационная проверка расчета. Для этого выбирается любая наиболее простая статически определимая основная система, получаемая из заданной путем удаления лишних связей. В выбранной статически определимой основной системе строится суммарная эпюра изгибающих момен-
тов M 0S от единичных сил, приложенных по направлению удаленных связей . Проверка считается выполненной, если
m l |
|
0 |
M F |
|
||
|
|
|||||
∑ ∫ |
|
M s |
dx = 0 . |
|||
|
|
|
|
|||
1 |
0 |
|
|
EI |
||
|
|
|
|
|
||
5.11. Построить эпюру поперечных сил в заданной расчетной схеме на основании дифференциальной зависимости QF = dM/dx.
29
5.12.Определить продольные силы во всех стержнях расчетной схемы из условия равновесия ее узлов и построить эпюру NF .
5.13.Произвести статическую проверку расчета: любая отсеченная часть расчетной схемы или вся схема, отсеченная от опор, под действием внутренних и внешних сил должна находиться в равновесии, т.е. должны выполнять-
ся три уравнения равновесия ∑ X = 0; ∑Y = 0; ∑ M c = 0 (С – любая точка
на плоскости).
Для выполнения этой проверки рекомендуется рассмотреть два случая:
∙Равновесие всей расчетной схемы, отсеченной от опор.
∙Равновесие любой отсеченной части расчетной схемы.
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6
РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ РАМЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Литература: [1, c. 486-503]; [ 6, c. 41-77 ]; [7, c. 21 - 52]; [146-164].
Исходные данные к работе определяется по табл.6.1 и схемам, представленным на рис. 6.1.
Задание.
∙Определить критическую силу и расчетную длину центрально сжатого стержня рамы.
∙Произвести подбор сечения центрально сжатого стержня с учетом продольного изгиба.
Последовательность расчета
Определение критических параметров
6.1.Вычертить в масштабе расчетную схему рамы с указанием размеров, нагрузки и других данных к расчету.
6.2.Пронумеровать все стержни расчетной схемы, определить их отно-
сительные жесткости ik = EIk/lk (k – номер стержня) и выразить их через общий множитель i0, приняв за него величину относительной жесткости любого из стержней рамы.
6.3.Записать для всех сжатых стержней выражения их критических параметров
ν |
n |
= h |
N n |
, |
|
||||
|
n |
EI n |
||
|
|
|
||
где n – номер сжатого стержня; Nn – |
величина сжимающей силы в этом |
|||
стержне; EIn – его жесткость при изгибе; hn – длина сжатого стержня.
30