2.Меры точности равноточных измерений.

О точности измерений можно приблизительно судить по рассеиванию (разбросу) результатов измерений, чем больше расходятся между собой результаты измерений, тем ниже точность измерений.

Основными мерами (характеристиками) точности измерений в геодезии являются: — средняя погрешность;

— средняя квадратическая погрешность;

— предельная погрешность;

— относительная погрешность.

Средняя погрешность —среднее арифметическое из абсолютных величин случайных погрешностей равноточных измерений.

где (тэта)

- абсолютное значение случайной погрешности n— число измерений.

Пример Имеем два ряда погрешностей

I ряд: -1; +2; -6; +7; -1; []=17

II ряд: -4;+2; -4;+3; -4; []=17

Средняя погрешность отдельного измерения будет равна:

для I ряда

для II ряда

Анализ: — средние погрешности этих рядов одинаковы;

6

— отдельные случайные погрешности в 1 ряду крупнее случайных погрешностей второго ряда;

— крупные погрешности снижают точность измерений.

Следовательно, средняя погрешность недостаточно чувствительна к крупным погрешностям, она сглаживает их влияние.

Средняя квадратическая погрешность (С.К.П.)

Формулу для её определения разработал К.Ф.Гаусс.

где - квадрат случайной погрешности

n — число измерений.

С.К.П. является надёжной мерой точности, так как она обладает тремя достоинствами:

1. На величину с.К.П. Сильное влияние оказывают большие по величине погрешности, которые по существу и определяют качество измерений.

Для примера случайных ошибок I и II ряда:

измерения второго ряда точнее соотношение между и m =0,8; m=1,2

2. С.К.П. Является устойчивым критерием для оценки точности измерений.

Втеории оценки измерений выводится приближённая формула для определения точности вычисления С. К. П.

7

при n=4 36%

n=8 25%

n=50 1%

n=100 0,1%

Вывод,

1)Точность вычисления С.К.П. в этом случае достигает 25% от её величины.

2)При восьми измерениях можно получить надёжный результат вычислений по формуле.

3)Для более точных измерений углов необходимо использовать теодолиты большей точности.

3. По величине с.К.П. Можно определить предельную погрешность ,которая может иметь при данных условиях измерений.

В теории вероятностей доказывается, что при достаточно большом числе измерений случайная погрешность может быть: с вероят. 0,950

— больше 2m в 5 случаях из 100 измерений.

— больше Зm в 3 случаях из 1000 измерений.

с вероят. 0,0997

Поэтому можно принять

или

2m— устанавливают при высокоточных измерениях

3m — в остальных случаях.

Выводы:

1)Исходя, из указанных достоинств С.К.П. принимается для оценки геодезических измерений в качестве основной меры точности.

2)Характеризуя точность измерения С.К.П. (m), необходимо также указывать и С.К.П. () вычисления С.К.П.

3)Числовые значения средней, С.К.П., и предельной погрешности достаточно вычислять до двух значащих цифр.

(т =0,35 или т =2,3)

8

4)Среднюю С.К.П., погрешностьназывают абсолютными погрешностями, т.к. на их значение не влияет величина измеряемой величины.

Относительная погрешность используется в тех случаях, когда на точность измерения влияет и размер определяемой величины.

Рассмотрим результаты измерений двух линий:

= 350,10м. 0,35м.

= 800,25м. 0,40м.

Рассмотрим:

а) абсолютные погрешности измерений:

- 1-я линия измерена точнее, чем вторая, т.к.

б) вторая линия длиннее первой и очевидно погрешность измерения линии будет зависеть от её длины.

Поэтому для оценки точности длин линий пользуются относительной погрешностью. Относительная погрешность — выражает отношение абсолютной погрешности измерения (m или )к значению самой измеряемой величины.

Относительную погрешность обычно представляют дробью, числитель которой равен 1, а знаменатель частное отделение длины линии на абсолютную погрешность.

Оценка измерений длин линий.

Вывод:

- вторая линия измерена точнее первой, хотя

- относительные погрешности не применяют при оценке точности угловых измерений, поскольку погрешность измерения угла, не зависит от его величины.

Арифметическая середина и оценка её точности.

Имеется ряд равноточных измерений величины и её истинное значение, т.е.: - - Х.

9

Согласно определению случайной погрешности (=1-Х)или (1-Х=) можно написать для ряда случайных погрешностей

………….

Сложим почленно эти равенства [l] —= []после чего разделим их на n измерений

обозначим

Величина является арифметической серединой или средним арифметическим из результатов измерений l, тогда

или

Вывод.

1)Так согласно 3-го свойства случайных погрешностей равноточных измерений ,то арифметическая середина стремится к истинному значению при возрастании числа измерений

2)На практике выполняют небольшое количество измерений. Тем не менее,и в этих случаях принято считать арифметическую середину из равноточных измерений наиболее надёжным результатом таких измерений.

Отклонения, или вероятнейшие погрешности. Истинное значение измеряемой величины, как правило неизвестно.

Поэтому случайные погрешности не могут быть вычислены по формуле

,

а значит не может быть вычислена и С.К.П. отдельного измерения по формуле .

Тогда оценку точности измерений проводят по отклонениям или вероятнейшим погрешностям отдельных измерений от арифметической середины:

10

Для установления свойств отклонений:

- сложим почленно эти равенства

- разделим почленно на n

- так как = X₀ или

поэтому =0

Сумма отклонений измеренных значенийот арифметической серединыравна нулю. Отклонениеназывается вероятнейшими погрешностями.

По отклонениям вычисляют С.К.П. отдельного измерения по формуле Бесселя.

(n-1)- число избыточных измерений

Кроме того, необходимо вычислить:

1)С.К.П. самой С.К.П. m в этом случае определяется по формуле

2)С.К.П. М арифметической середины вычисляют по формуле

,

где:

-m-С.К.П. отдельного измерения;

11

-n- число равноточных измерений.

Формула С.К.П. арифметического среднего, даёт возможность сделать практический вывод о том, что повышение точности путём многократных измерений одной и той же величины, выгодно только при небольшом числе измерений.

т =10”

Пример n=1;2;4;6;8;

М = 10”;7”;5”;4”;3”.

Поэтому в полевых геодезических работах средней точности число повторений не превышает 3-4 приемов.

Для существенного повышения точности нужно применить более точные приборы. Вывод С.К.П. арифметической середины в раз меньше С.К.П. отдельного измерения.

3)С.К.П. самой С.К.П. М находят по формуле: