7_Основные теоремы строительной механики

Основные теоремы строительной механики.

Определение перемещений

1. Общие понятия

Δ – перемещения от внешних воздействий;

δ – перемещения от единичных безразмерных сил

Δ_iF = δ_iF∙F

Δ_iF = ∑δ_iF∙F_n

2. Работа сил. Потенциальная энергия деформации

dT = dF_i∙dΔ_i

(теорема Б. Клайперона)

.

M_i, Q_i и N_i – силы, совершающие работу

M_k, Q_k и N_k – силы, вызывающие деформации

T = – W

3. Принцип возможных перемещений

(принцип Ж. Лагранжа)

Для того, чтобы система, имеющая идеальные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на любой совокупности возможных перемещений равнялась нулю.

– R_q∙Δ_К + R_B ∙Δ_B – F₁∙Δ_С + F₂∙Δ_F = 0

R_q = 1,2q

Δ_С = Δ Δ_B = Δ/1,2

Δ_К = 0,5Δ Δ_F = 0,25Δ

–1,2ql∙0,5Δ + R_B∙Δ /1,2– 0,5ql∙Δ + +ql∙0,25Δ = 0

R_B = 1,02 ql

Если упругая деформируемая система под действием приложенных к ней внешних сил находится в равновесии, то при всяком возможном бесконечно малом перемещении точек этой системы сумма работ её внешних и внутренних сил равна нулю.

4. Основные теоремы строительной

механики

Теорема о взаимности возможных рабоn

(теорема Бетти)

T_i= 0,5 F_i Δ_ii + F_i Δ_ik + 0,5 F_k Δ_kk

T_k = 0,5 F_k Δ_kk + F_k Δ_ki + 0,5 F_i Δ_ii

T_i = T_k

F_i Δ_ik = F_k Δ_ki

T_ik = T_ki

Возможная работа сил состояния i на перемещениях, вызванных силами состояния k, равна возможной работе сил состояния k на перемещениях, вызванных силами состояния i.

Теорема о взаимности возможных

перемещений

(теорема Максвелла)

Δ_ki = δ_kiF_i

Δ_ik = δ_ikF_k

F_iΔ_ik = F_k Δ_ki

F_iδ_ikF_k = F_kδ_kiF_i

δ_ik = δ_ki

Возможное перемещение по направлению i от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению k, численно рано возможному перемещению по направлению k от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению i.

Теорема о взаимности возможных реакций

(теорема Рэлея)

R_ii∙0 – R_ki∙Δ_k = – R_ik∙Δ_i + R_kk∙0

R_ki∙Δ_k = R_ik∙Δ_i

R_ki = r_ki∙Δ_i R_ik = r_ik∙Δ_k

r_ki∙Δ_i∙Δ_k = r_ik∙Δ_k ∙Δ_i

r_ik = r_ki

Возможная реакция в связи i от единичного смещения связи k численно равна возможной реакции в связи k от смещения связи i.

5. Определение перемещений от внешней нагрузки

Т_Fk = 1∙Δ_kF

− при определении перемещений в фермах

− при определении перемещений в изгибаемых системах

− при определении перемещений в комбинированных системах

Вспомогательные состояния при определении перемещений

Способы “перемножения” эпюр

− способ Верещагина

M_k = x tg α

M_F dx = dΩ

x∙M_F dx = xdΩ

Площади и центры тяжести простейших геометрических фигур

, y₀₁= 1;

Ω₂ = 0,5∙48∙4 = 96, y₀₂ = 2∙2/3 = 4/3;

Ω₃ = Ω₂ = 96, y₀₃ = y₀₂ = 4/3;

Ω₄ = Ω₁ = 128/3, y₀₄ = y₀₁ = 1;

Ω₅ = 0,5∙32∙4 = 64, y₀₂ = 1∙2/3 = 2/3.

− использование формул “перемножения” эпюр

h₁ = 0,5∙2 = 1,

h₂ = 0,5∙2 = 1,

f₁ = 0,5∙48 + 8·4²/8 = 40,

f₂ = 0,5∙(48 –32) + 8·4²/8 = 24.

Пример 2

Пояса :

∟80 х 50 х 6 (A₁ = = 2∙7,55 = 15,1 см²)

EA₁ = 2,06∙10⁸∙15,1∙10^-4 = 31,106∙10⁴ кН = EA

Решётка:

∟50 х 5 (A₂ = 2∙4,8 = 9,6 см²)

EA₂ = 2,06∙10⁸∙9,6∙10^-4 = 19,776∙10⁴ кН = 0,636EA

Определить изменение угла между левой стойкой и раскосом во второй панели

Пример 3

6. Определение перемещений от теплового воздействия

T_tk = 1∙ Δ_kt

T_tk = – W_tk

Формула для определения перемещений от теплового воздействия

.

Пример 5

Левая стойка:

t₀₁ = 0,5(– 45^º + 15^º) = –15^ºС;

Δt₁ = |15^º – (– 45^º)| = 60^ºС

Правая стойка:

t₀₂ = 0,5(45^º + 15⁰) = 30^ºС;

Δt₂ = |15^º – 45^º | = 30^ºС

Удлинения стержней:

левая стойкая

_Δl1t =α_tt₀₁l₁= 120∙10^-7∙(– 15^º)∙4,5 =

= – 0,081∙10^-2 м;

правая стойка

_Δl2t =α_tt₀₂l₂= 120∙10^-7∙30^º ∙4,5 = 0,162∙10^-2 м

7. Определение перемещений

от неравномерной осадки опор и

неточности изготовления стержней

T_Δk = 1∙Δ_kΔ + R₁∙Δ₁ + R₂∙Δ₂ +…+ +R_i∙Δ_i +…+ R_n∙Δ_n =

=1∙Δ_kΔ +∑ R_ik∙Δ_i

W_Δk = 0

T_Δk = W_Δk = 0

Формула для определения перемещений от неравномерной осадки опор

Δ_kΔ = – ∑R_ik∙ Δ_i

Формула для определения перемещений от неточности изготовления стержней

Δ_kΔ = ∑N_ik∙Δ_i

Пример 6

Определить угол поворота сечения К и построить деформированную схему балки

φ_K = Δ_1Δ = – (0,05∙0,06 – 0,125∙0,08 – – 0,375∙0,04 + 0,25∙0,02) = – 0,01 рад.

Пример 5

Определить смещение опоры В, если затяжка изготовлена короче на 0,06 м; построить деформированную схему рамы

Δ_В = Δ_1Δ = 2∙(– 0,06) = – 0,12 м

116