- •Т.А. Павлова дифференциальные уравнения
- •Печатается по решению редакционно- издательского совета ОрелГту Орел 2004
- •302030, Г. Орел, ул. Московская, 65.
- •Введение
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения первого порядка
- •3. Линейные уравнения первого порядка
- •3. 1. Метод вариации произвольной постоянной
- •2). Будем считать произвольную постоянную снеизвестной функциейс(х), т.Е.
- •3. 2. Решение линейных уравнений первого порядка с помощью подстановки
- •4. Уравнение Бернулли
- •5. Уравнения в полных дифференциалах
- •6. Метод изоклин
- •6.1. Геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •7. 1. Первый тип. Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную
- •7. 2. Второй тип. Уравнения, не содержащие искомой функции
- •7. 3. Третий тип. Уравнения, не содержащие независимой переменной
- •8. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •8. 1. Метод неопределенных коэффициентов
- •8. 2. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •9. Литература
3. Линейные уравнения первого порядка
3. 1. Метод вариации произвольной постоянной
Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка линейное относительно yит.е.
(3)
1).Если в (3) Q(x)=0, то (3)называется однородным:
Уравнение (5) является общим решением уравнения (4).
2). Будем считать произвольную постоянную снеизвестной функциейс(х), т.Е.
Полученные выражения для yиy/подставим в (3) и найдемс (х):
Решение уравнения (3) запишется в виде (подставим в (5))
Рассмотренный способ называется методом вариации произвольной постоянной.
3. 2. Решение линейных уравнений первого порядка с помощью подстановки
Уравнение (3) можно решить с помощью подстановки: y=UV, где U=U(x), V=V(x). Тогда .
Подставим ив (3):
Во многих примерах необходимо решить задачу Коши (например, в задачах №4, №5, №6, №11).Процесс решения сводится к отысканию частного интеграла дифференциального уравнения n-го порядка (n=1,2,3,...), удовлетворяющего n начальным условиям вида
.
.
Т.е. ищут общее решение дифференциального уравнения, а затем, воспользовавшись начальными условиями, находят значения всех n произвольных постоянных c1, c2,..., cn, входящих в общий интеграл уравнения.
Задача №4. Найти решение задачи Коши:
4.31 .
Решение. Перед нами линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим его двумя способами.
I-способ. Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций U=U(X) и V=V(X), т.е. y=UV, одна из которых выбирается произвольным образом; . Подставляя в исходное уравнение, получим
.
Исходя из того, что одну из функций ищут произвольным образом, полученное уравнение разбивают на два следующим способом:
.
Выпишем первое уравнение из системы и решим его:
Мы можем воспользоваться частным случаем функции V, например, когда c=1, V=x (значение для c берут таким образом, чтобы функция V не оказалась тождественно равной нулю, в противном случае невозможно будет искать функцию U). Подставим найденное значение для V во второе уравнение системы и найдем функцию U: .
Следовательно, функция . Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения. Подставляя начальное условие, найдемc: c=0.
Т.е. решением задачи Коши, удовлетворяющем данному начальному условию является , что и будет ответом.
II-способ. Метод вариации произвольной постоянной.
Составим и решим соответствующее однородное уравнение:
.
Теперь предположим, что константа c является функцией от переменной x, т.е. c=c(x), тогда y=xc(x). Найдем и подставим в исходное уравнение:
.
Интегрируя обе части уравнения, получим
.
Тогда - общее решение исходного дифференциального уравнения. Подставляя начальное условие, найдем, чтоc=0 и - частное решение.
Задача №5 .Решить задачу Коши
Решение. Так же как и в задаче №4 это линейное уравнение 1-го порядка, если рассматривать x как функцию от y. Преобразуем уравнение:
Решим его методом вариации произвольной постоянной.
1)
2)
3)
Подставляя 2) и 3) в исходное уравнение, получим
(Интегрировать уравнение (*) удобнее, если преобразовать правую часть, воспользовавшись тригонометрическими формулами.)
Тогда
- общее решение исходного уравнения.
Подставляя начальное условие, найдем, что c=-2. Тогда решением задачи Коши будет