Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Metodichka_ruchnoy_schet_chislennye_metody

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

x4(4) x4(3) 0,104 ( 0,0723) 0,032 0,1, точность выполнена для всех корней,

следовательно, корни найдены на четвертой итерации с точностью 0,1,

х1=0,4571, х2=-0,6403, х3=-0,0575, х4=-0,104.

Документ Mcad:

Метод Зейделя Постановка задачи: методом Зейделя найти корни системы линейных

уравнений (1) с точностью =0,1

По аналогии с методом простой итерации выполняется проверка условия сходимости и выбирается нулевой вектор. Итерационные формулы метода:

x(k 1)

[b (a x(k )

...

x(k ) )]

a11

x(k 1)

[b (a

x(k 1)

...

x(k ) )]

a22

(5)

......................................................................

[b (a

x(k 1)

...

n,n 1

x(k 1) )]

x(k 1)

n 1

ann

Для системы (1) приведенная система имеет вид (4).

Вычислим первое приближение по итерационным формулам (5) при k=0:

x(1)		2	0,2857

1	7

x(1)	7 3 0,2857 0,6825
2	9

x(1)		1 0,2857 2( 0,6825)		0,0765

3	11

x(1)	3 3( 0,6825) 2( 0,0765) 0,0373
4	13

Проверка на точность: x1(1) x1(0) 0,2857 0,1 , делаем следующий шаг. Вычислим второе приближение по итерационным формулам (5) при k=1:

x(2)		2 2( 0,6825) ( 0,0765) ( 0,0373)					0,4751
x(2)							0,4751
1	7
	7
x(2)	7 3 0,4751 ( 0,0765) 2( 0,0373 0,6362
2	9
	9
x(2)		1 0,4751 2( 0,6362) (0,0373)				0,076
x(2)						0,076
3	11
	11
x(2)	3 3( 0,6362) 2( 0,076) 0,078
4	13
	13
				x(1)	0,4751 0,2857			0,1894 0,1.
Проверка на точность:			x(2)	x(1)	0,4751 0,2857			0,1894 0,1.
			1	1

Вычислим третье приближение по итерационным формулам (5) при k=2:

x(3)		2 2( 0,6362) ( 0,076) ( 0,078)		0,4678
x(3)				0,4678
1	7
	7
x(3)	7 3 0,4678 ( 0,076) 2( 0,078) 0,6476
2	9
	9
x(3)		1 0,4678 2( 0,6476) (0,078)	0,0618
x(3)			0,0618
3	11
	11
x(3)	3 3( 0,6476) 2( 0,0618) 0,0912
4	13
14	13
14

Проверка на точность:	x(3)	x(2)	0,4678 0,4751	0,007 0,1 ,
Проверка на точность:	x(3)	x(2)	0,4678 0,4751	0,007 0,1 ,
	1	1

x2(3) x2(2) 0,6476 ( 0,6362) 0,011 0,1 , x3(3) x3(2) 0,0618 ( 0,6362) 0,014 0,1,

x4(3) x4(2) 0,0912 ( 0,078) 0,013 0,1 , точность выполнена для всех корней,

следовательно, корни найдены на третьей итерации с точностью 0,1,

х1=0,4678, х2=-0,6476, х3=-0,0618, х4=-0,0912.

Документ Mcad:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

Аппроксимация и интерполяция

Постановка задачи: Дана таблица координат точек {xi,yi}

i	0	1	2	3	4
x	0,2	0,4	0,7	0,85	1
y	0,1	0,5	0,6	0,9	0,7

Аппроксимировать точки полиномом 1-й и 2-й степени;

Интерполировать точки (методом неопределѐнных коэффициентов) полиномом 1-й и 2-й степени;

Интерполировать точки (методом Ньютона) полиномом 1-й и 2-й степени.

Название метода

Система для нахождения

Ответ

коэффициентов полинома

Метод

полином 1-й степени

P1(x)=a0+a1x

наименьших

n a0

a1 xi

квадратов

a1 xi 2

xi yi

(аппроксимация)

полином 2-й степени

n a0

a1 xi2

P2(x)=a0+a1x+a2x2

a0 xi 2 a1 xi3 a2 xi

x 2

x4 a

2 y

Ручной счет Аппроксимация полиномом 1-й степени

Общий вид полинома 1-й степени P1(x)=a0+a1x. Для нахождения коэффициентов полинома необходимо решить систему линейных уравнений:

	n a0 a1 xi yi
		i		i					(1)
									(1)
xi a0 a1 xi 2 xi yi
i		i		i
Вычислим значения xi						, xi2 , yi , xi yi .
xi				i			i	i	i
xi	x0	x1 x2	x3 x4			0,2 0,4 0,7 0,85 1 3,15 .
i
xi	2 x0	2 x12 x2		2 x3	2 x4		2 0,22	0,42	0,72 0,852 12 2,4125 .
i
yi	y0	y1 y2	y3 y4			0,1 0,5 0,6 0,9 0,7 2,8 .

xi yi x0 y0 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 0,2 0,1 0,4 0,5 0,7 0,6 0,85 0,9 1 0,7 2,105

Подставляем в систему (1) и получаем:

				5a0	3,15a1 2,8							(2)
				a0	2,4125a1							(2)
3,15				a0	2,4125a1						2,105
Запишем систему (2) в матричном виде.
	5			3,15					a0			2,8
3,15				2,4125					a		2,105
									1
Решаем методом Гаусса.
	5				3,15				2,8
	5				3,15				2,8
				2,4125			2,105
3,15				2,4125			2,105
Разделим 1-е уравнение на (5), 2-е уравнение на (3,15).
1				0,63					0,56
1				0,63					0,56
			0,765873								.
1			0,765873			0,668254
Перепишем 1- е уравнение без изменений, из 2-го уравнения вычтем 1-е
уравнение и результат запишем на место второго.
1				0,63					0,56
1				0,63					0,56
				0,135873							.
0				0,135873				0,108254
Разделим 2-е уравнение на (0,135873)
a			0,63a 0,56
		0			1					.
		a1 0,796729
Из 2-го уравнения найдѐм a1 0,796729 . Из 1-го уравнения найдѐм
a0		0,56 0,63 a1									a0 0,56 0,63 0,796729 a0 0,058061. Запишем

найденное уравнение P1(x) 0,58061 0,796729x .

Найдѐм отклонения полученного полинома P1(x) от заданных точек y.

В0-ой точке O0 P1(x0 ) y0 P1(x0 ) 0,58061 0,796729x0 P1( 0,2 ) 0,217407 . O0 0,217407 0,1 0,117407 .

В1-й точке

O1 P1( x1 ) y1 P1( x1 ) 0,58061 0,796729 x1 P1( 0,4 ) 0,376752 . O1 0,376752 0,5 0,12325 .

Во 2-й точке

O2 P1( x2 ) y2 P1( x2 ) 0,58061 0,796729 x2 P1( 0,7 ) 0,615771. O2 0,615771 0,6 0,015771.

В 3-й точке

O3 P1( x3 ) y3 P1( x3 ) 0,58061 0,796729 x3 P1( 0,85 ) 0,73528. O3 0,73528 0,9 0,16472 .

В 4-й точке

O4 P1( x4 ) y4 P1( x4 ) 0,58061 0,796729 x4 P1(1) 0,85479. O4 0,85479 0,7 0,15479 .

Построим график функции P1( x ) и отметим исходные точки
Аппроксимация полином 1 степени
1
0,8
0,6
у
0,4
0,2
0
0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2
			х

Документ Mcad:

Ручной счет Аппроксимация полиномом 2-й степени

Общий вид полинома 2-й степени P2(x)=a0+a1x+a2x2. Для нахождения коэффициентов полинома необходимо решить систему линейных уравнений

n a0 xi a1 xi2 a2 yi

xi a0

xi2 a1 xi3 a2 xi yi

(3)

a2 xi

Вычислим значения xi

, xi2 ,

xi3 , xi4 , yi ,

xi yi ,

2 yi .

x1 x2

x3 x4

0,2 0,4 0,7 0,85 1 3,15 .

x12 x2

2 x3

2 0,22

0,42

0,72

0,852 12

2,4125 .

xi3

0,23 0,43 0,73

0,853 13

2,029125 .

xi4

0,24 0,44

0,74

0,854

1,789306 .

y1 y2 y3

y4 0,1 0,5 0,6 0,9 0,7 2,8 .

xi yi

x0 y0 x1 y1

x2 y2 x3 y3 x4 y4

0,2 0,1 0,4 0,5 0,7 0,6 0,85 0,9 1 0,7 2,105

2 yi 0,22 0,1 0,42

0,5 0,72

0,6 0,852 0,9 12 0,7 1,72825

Подставляем в систему (3) и получаем следующую систему:

5a0 3,15a1

2,4125a2

2,8

3,15a0 2,4125a1

2,029125a2

2,105

(4)

2,029125a1

1,789306a2 1,72825

2,4125a0

Запишем систему (4) в матричном виде.

3,15

2,4125

2,8

3,15

2,4125

2,09125

2,105

(5)

2,09125

2,4125

1,789306

1,72825

Решим систему (5) методом Гаусса.

Разделим 1-е уравнение на (5), 2-е уравнение на (3,15), 3-е уравнение на

(2,4125).

В результате получаем систему.

1	0,63	0,4825
			0,56
1	0,765873	0,644167	0,668254	.
	0,841088	0,741681	0,716373
1

Перепишем 1- е уравнение без изменений, из 2-го уравнения вычтем 1-е уравнение и результат запишем на место 2-го уравнения, из 3-го уравнения вычтем 1-е и результат запишем на место третьего уравнения.

Получим систему.

1		0,63	0,4825
				0,56
	0	0,135873	0,161667	0,108254	.
	0	0,211088	0,259181	0,156373

Разделим 2-е уравнение на (0,135873), 3-е уравнение на (0,211088).

1		0,63	0,4825
				0,56
	0	1	1,189836	0,796729	.
	0	1	1,227835	0,740795

Перепишем 1-е и 2- е уравнение без изменений, из 3-го уравнения вычтем 2-е уравнение и результат запишем на место 3-го уравнения.

1		0,63	0,4825
				0,56
	0	1	1,189836	0,796729	.
	0	0	0,037999
				0,05593

Разделим 3-е уравнение на (0,037999), и запишем полученные данные в виде

a0 0,63a1 0,4825a2 0,56
	a	1,189836a	2	0,796729	.
системы:	1		2		.
	a2	1,47199
	a2	1,47199

Из 3-го уравнения a2 1,47199 . Из 2-го уравнения найдѐм

a1 0,706729 1,189836a2 a1 0,706729 1,189836 ( 1,47199) a1 2,54816 .

Из 1-го уравнения найдѐм a0 0,56 0,63a1 0,4825a2 , a0 0,56 0,63 2,54816 0,4825( 1,47199) a0 0,3351.

Запишем найденное уравнение P2(x) 0,3351 2,5486x 1,47199 x2 .

Найдѐм отклонения полученного полинома P2(x) от заданных точек y. В 0-й точке

O P2(x ) y				0	P2(x ) 0,3351 2,5486 x 1,47199 x 2 .
0	0			0		0		0		0
P2(0,2) 0,11564					O0 0,115648 0,1 0,015648 .
В 1-й точке
O P2(x ) y				P2(x ) 0,3351 2,5486x 1,47199x 2						P2( 0,4 ) 0,448641.
1	1	1			1	1		1
O1 0,448641 0,5 0,05136 .
Во 2-й точке
O P2(x ) y			2	P2(x		) 0,3351 2,5486x	2	1,47199x	2	P2(0,7) 0,727331.
2	2		2		2		2	2
O2 0,727331 0,6 0,127331.
В 3-й точке
O P2(x ) y				P2(x ) 0,3351 2,5486x				1,47199x	2	P2( 0,85 ) 0,767317 .
3	3	3			3	3		3
O3 0,767317 0,9 0,113268.
В 4-й точке
O P2(x ) y			4	P2(x		) 0,3351 2,5486x	4	1,47199x	2	P2(1) 0,741063.
4	4		4		4		4	4

O4 0,741063 0,7 0,041063.

Построим график функции P2( x ) и отметим исходные точки.

Аппроксимация полином 2 степени

1,00

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

Интерполяция

Постановка задачи: Дана таблица координат точек {xi,yi}

i	0	1	2	3	4
x	0,2	0,4	0,7	0,85	1
y	0,1	0,5	0,6	0,9	0,7

Интерполировать точки (методом неопределѐнных коэффициентов) полиномом 1-й и 2-й степени.

Название метода

Система для нахождения

Ответ

коэффициентов полинома

Метод

полином 1-й степени

P1(x)=a0+a1x

неопределѐнных

a x

коэффициентов

(интерполяция)

a0 a1 x1 y1

полином 2-й степени

a x

P2(x)=a0+a1x+a2x

a0 a1 x1 a2 x12

a x

Интерполяция полином 1-й степени

Общий вид полинома 1-й степени P1(x)=a0+a1x. Выберем для построения 0-ю точку и 3-ю точку. Для нахождения коэффициентов полинома необходимо решить систему линейных уравнений.

a		a	x		y	0 .
	0	1		0		0 .	(6)
a0 a1 x1 y1

Подставим в систему (6) значения x0, x1, y0, y1 и получаем систему:

a0	0.2 a1	0.1	.	(7)
	0.85 a1	0.9
a0

Запишем систему (7) в матричном виде.
1		0,2	a0		0,1 .
1 0,85			a			0,9
			1
Решим систему методом Гаусса.
1		0,2 0,1
			.
1		0,85 0,9
								1	0,2	0,1
В результате получим систему											.
									1	1,230769
								0	1	1,230769
Запишем полученные данные в виде системы линейных уравнений:
a		0,2a	0,1		.
	0	1			.
a1		1,230769
Из 2-го уравнения a1 1,230769. Из 1-го уравнения найдѐм a0 0,1 0,2 a1.
a0	0,1 0,2 1,230769 a0							0,14615 .
Запишем найденное уравнение P1( x ) 0,14615 1,230769 x .
Найдѐм отклонения полученного полинома P1(x) от заданных точек y.
В 0-й точке
O0	P1(x0 ) y0					P1(x0 ) 0,14615 1,230769 x0						P1( 0,2 ) 0,1 O0 0,1 0,1 0 .
В 1-й точке
O1	P1(x1 ) y1					P1(x1 ) 0,14615 1,230769 x1						P1(0,4) 0,346154 .
O1 0,346154 0,5 0,15385.
В 2-й точке
O2	P1(x2 ) y2					P1(x2 ) 0,14615 1,230769 x2						P1(0,7) 0,715385 .
O2	0,715385 0,6 0,115385.
В 3-й точке
O3	P1(x3 ) y3					P1(x3 ) 0,14615 1,230769 x3						P1(0,85) 0,9 O3 0,9 0,9 0 .
В 4-й точке
O4	P1(x4 ) y4					P1(x4 ) 0,14615 1,230769 x4						P1(1) 1,084615.
O4	1,08615 0,7 0,384615.
Построим график функции P1( x ) и отметим исходные точки
							Интерполяция
		1,2
		1
		0,8
у		0,6
		0,6
		0,4
		0,2
		0
		0		0,2			0,4	0,6	0,8	1		1,2
								х
22

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.20151.48 Mб17metodichka_excel_2sem от шуваловой 1.pdf
#
27.03.2015448.51 Кб87Metodichka_IRIT_NEW.doc
#
27.03.201589.6 Кб5Metodichka_Kursovoy_proekt1.doc
#
27.03.2015324.61 Кб916METODIChKA_po_ISTORII_2014.doc
#
11.03.2016107.64 Кб54METODIChKA_po_ISTORII_2014.docx
#
28.03.20151.08 Mб18Metodichka_ruchnoy_schet_chislennye_metody.pdf
#
28.03.2015588.2 Кб15metodichka_SI_1_semestr.pdf
#
27.03.20151.44 Mб11metodik1.doc
#
27.03.2015529.92 Кб15metodik2.doc
#
11.03.20161.27 Mб32Metrologia_Ekzamen_Otvety.pdf
#
27.03.20151.23 Mб12MET_ACCE.DOC