Ответ: уточненное значение корня x ≈ 0,99999.

Достоинство метода: очень быстрая сходимость к заданной точности. Недостаток: громоздкий алгоритм: на каждой итерации необходимо вычислять значение функции и ее первой производной.

Метод простой итерации

Метод основан на замене исходного уравнения F(x)=0 на эквивалентное x=ϕ(x). Функция ϕ(x) выбирается таким образом, чтобы на обоих концах отрез-

ка [a,b] выполнялось условие сходимости ϕ′(x) < 1. В этом случае в качестве начального приближения можно выбрать любой из концов отрезка. Итерационная формула имеет вид

xi+1 =ϕ(xi )

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполне-

но условие F(x) <ε, где ε - заданная точность. Рассмотрим пример ручной реализации метода.

Дано уравнение x2 – 4x + 3 = 0. Известно, что корень уравнения расположен на отрезке [0,9;1,2]. Требуется уточнить значение корня методом простой итерации с точностью ε = 0,03.

На первом этапе нам необходимо выбрать функцию ϕ(x), удовлетворяющую условию сходимости.

Запишем исходное уравнение в виде x = x2 – 3x + 3. Тогда ϕ(x) = x2 – 3x + 3; ϕ′(x) = 2x – 3; ϕ′(0,9) = -1,2; ϕ′(1,2) = -0,6. Условие сходимости не выполнено,

поскольку -1,2 > 1.

16