Примеры для самостоятельной работы
Вычислить повторные интегралы в полярных координатах:
32. ;33. ;34. .
Вычислить двойные интегралы в полярных координатах по указанным областям:
35. , где область определена неравенствами ,;
36. , где область ограничена линиями = 1, = 2 + cos, полярной осью и расположена выше полярной оси;
37. , где область ограничена полярной осью, линией и расположена выше полярной оси.
Расставить пределы интегрирования в двойных интегралах по указанным областям:
38. Область ограничена окружностями = R, = 2R cos и находится выше первой окружности;
39. Область ограничена линиями = 1, = 2 + cos.
В двойном интеграле перейти к полярным координатам, положивх = cos, у = sin, и расставить пределы интегрирования в случае указанных областей D:
40. Область D ограничена линиями х2 + у2 = 1, х2 + у2 = 4, у = х, ;
41. Область D ограничена линией х2 + у2 = 2Rу;
42. Область D ограничена линией (х2 + у2)2 = 4(х2 – у2).
Переменить порядок интегрирования в следующих интегралах, заданных в полярных координатах:
43. ;44. ;45. .
Вычислить двойные интегралы, введя полярные координаты:
45., гдеD ограничена линиями х2 + у2 = 4, х2 + у2 = 16 (х 0, у 0);
46., гдеD определена неравенствами х2 + у2 2Rx (у 0);
47., гдеD – круг х2 + у2 16;
48., гдеD ограничена линиями (х2 + у2)2 = 4(х2 - у2), y = 0,(х > 0, у > 0);
49., гдеD ограничена линией (х2 + у2) = 2ху;
50. Вычислить , введя новые переменныеx = u(1 - v), y = uv;
51. Вычислить , если областьD ограничена линиями ху = 1, ху = 2, у = х, у = 3х (произвести замену переменных ,).
1.3. Несобственные двойные интегралы
Интегралы, распространенные на неограниченную область. Рассмотрим функцию f(x, y), определенную в неограниченной области D. Предположим, что эта функция интегрируема в любой части D’ области D, т.е. существует двойной интеграл
. (17)
Кривую , отсекающую область D’, всеми ее точками станем удалять в бесконечность так, чтобы наименьшее расстояние R ее точек до начала координат неограниченно возрастало, а отсекаемая ею переменная область D’ постепенно охватывала все точки области D.
Несобственным интегралом от функции f(x, y) в неограниченной области D называется предел (конечный или бесконечный) интеграла (17) при R :
. (18)
В случае существования конечного предела интеграл (18) называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Функция, для которой интеграл (18) сходится, называется интегрируемой (в несобственном смысле) в области D.
Пусть далее функция f(x, y) задана в неограниченной области любого вида. Полагая ее равной нулю вне этой области, всегда можно свести дело к случаю неограниченной прямоугольной области – одному из прямоугольников: ,,или к сумме некоторых из этих прямоугольников.
Если в каждом конечном прямоугольнике (при любыхb > a, d > c) существует в собственном смысле двойной интеграл от данной неотрицательной функции f(x, y) и простой интеграл по у, то
, , (19)
где
, (20)
в предположении, что повторный интеграл сходится.
Если функция f(x, y) меняет знак в бесконечной области D, формула (19) верна при дополнительном условии сходимости повторного интеграла от абсолютной величины данной функции: .
Двойные интегралы от неограниченных функций. Пусть функция f(x, y) задана в ограниченной области D, но оказывается неограниченной в окрестности некоторой точки М(х, у), а в любой части области D, не содержащей этой точки, она является интегрируемой в собственном смысле.
Выделим особую точку М, окружив ее кривой . Если удалить из области D окрестность, имеющую площадь и ограниченную кривой , получим область D’, для которой существует двойной интеграл (17). Станем «стягивать» кривую в точку М так, чтобы диаметр d области, ограниченной , стремился к нулю.
Несобственным интегралом от неограниченной функции f(x, y) по области D называется предел интеграла (17) при d 0:
. (21)
Если указанный предел существует и конечен, интеграл (21) называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично определяется несобственный интеграл в случае, когда имеется несколько отдельных особых точек или указанные точки заполняют особую линию.
Замена переменных в несобственных двойных интегралах. В плоскости Оху и Ouv рассмотрим ограниченные области D и , связанные формулами преобразования ,или обратными им,, с соблюдением оговоренных ранее условий (см. формулы (12) и (13)).
Пусть в области D задана функция f(x, y), непрерывная всюду, за исключением конечного числа отдельных точек или кривых, где она обращается в бесконечность. В этом случае выполняется равенство
, (22)
если сходится один из этих интегралов (сходимость другого следует отсюда).
Формула (22) верна и для случая неограниченных областей. Замена переменных, наряду с переходом к повторному интегралу, является удобным средством для установления сходимости несобственных двойных интегралов.
Пример 20. Исследовать, сходится ли двойной интеграл , где областьD определена неравенствами х 1, ух 1.
Данный двойной интеграл является несобственным, поскольку область интегрирования – бесконечная часть первого квадрат, ограниченная слева прямой х = 1 и снизу гиперболой ху = 1 (рис. 35).
Рассмотрим конечную часть области D – область D’, ограниченную линиями х = 1, х = b, ,y = d (рис. 36, область MDAB).В области D’ двойной интеграл существует в собственном смысле (при любых b > 1, d > 1):
y
у
d M D
D
D’
A
B
0
х
0
1 b
x
Рис. 35
Рис. 36
Поскольку подынтегральная функция положительна во всей области D, то в соответствии с формулами (19) и (20)
.
Следовательно, данный несобственный двойной интеграл сходится и равен единице.
Пример 21. Исследовать, сходится ли , гдеD – круг .
Данный двойной интеграл является несобственным, поскольку подынтегральная функция не ограничена в данной области (на границе области, т.е. на окружности , она обращается в бесконечность).
Для решения вопроса о сходимости интеграла перейдем к полярным координатам по формулам х = cos, y = sin:
, ;
пределы интегрирования: = 0, = 2, ,.
Формула (22) в данном случае примет вид
.
Так как
,
то ,
т.е. двойной несобственный интеграл сходится и равен 2R.
Пример 22. Исследовать, сходится ли , где областьD определяется неравенством .
Подынтегральная функция определена во всех точках, находящихся внутри эллипса . На границе области она обращается в бесконечность. Для выяснения вопроса сходимости интеграла перейдем к новым координатам по формулам:,или
, (0 1, 0 2).
Получаем
Итак, данный интеграл сходится.
Пример 23. Исследовать, сходится ли , гдеD – треугольник, ограниченный прямыми у = 0, у = х, х = .
Введем новые переменные по формулам:
, . (23)
Преобразование (23) переводит треугольник D плоскости Оху (рис. 37) в треугольник плоскости Ouv, ограниченный прямыми u = v, u + v = 2, v = 0 (рис. 38).
у
v
D
0
х
0
2
u
Рис. 37
Рис. 38
Так как ,, то
,
где - треугольник, ограниченный прямыми u = v, u = , v = 0.
Следовательно, ,
т.е. интеграл сходится.
Замечание. Здесь принято во внимание, что .
Этот интеграл (называемый интегралом Эйлера) вычислен с помощью замены переменной. Полагая x = 2t, получаем
.
Так как , то
.
Последний интеграл с помощью подстановки приводится к виду, поэтому
.
Пример 24. Исследовать, сходится ли , гдеD определена неравенствами х 0, у 0.
Рассмотрим квадрант круга радиуса R с центром в начале координат, обозначим его через KR. Вводя полярные координаты по формулам ,, получаем
Так как sin R2 при R предела не имеет, данный интеграл расходится.