lab1
.docxМинистерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию
Новосибирский государственный технический университет
Кафедра Автоматики
Лабораторная работа №1
Стабилизация двухмассовой системы: модальный метод синтеза в пространстве состояний с наблюдателем полного порядка
Факультет: АВТ
Группа: ААМ-12
Студенты: Белых Д. Преподаватель:
Воевода А.А.
Новосибирск, 2013
Цель работы
Рассчитать наблюдатель полного порядка и регулятор (используя модальный метод синтеза в пространстве состояний с использованием пропорциональной матрицы в канале обратной связи). Объектом управления является двухмассовая система, в которой два управляющих сигнала, силы и , приложены к массам и , подвешенных последовательно на двух пружинах жесткости k1 и k2, а регулируемые величины – положение грузиков и .
Таблица 1. Исходные данные
k1 |
k2 |
||
1 |
1 |
6 |
2 |
Выполнение работы
-
Описание модели
В предположении отсутствия демпфирования модель объекта «вход - выход» следующая:
Перейдём к описанию в пространстве состояний. Запишем наблюдаемую каноническую форму:
(1)
С учётом исходных данных уравнение (1) примет вид:, , .
Рис. 1. Модель исследуемой двух массовой системы (представлена в наблюдаемой канонической форме)
Рис. 2. Переходные процессы y(t) при U1=U2=1
Процессы на выходах y1 и y2 имеют вид незатухающих колебаний ( см. рис.2 ).
-
Расчёт наблюдателя полного порядка
Так как вектор состояния не доступен, то в систему вводится наблюдатель.
Запишем уравнения (1) в матричном виде:
, .
Здесь
, , .
Матрица состоит из четырех матриц размером 2×2: диагональные матрицы описывают собственные свойства первого и второго каналов: Собственные свойства канала «первый вход – первый выход» определяются коэффициентами второго столбца матрицы : , что соответствует коэффициентам характеристического полинома . Собственные свойства канала «второй вход – второй выход» определяются коэффициентами второго столбца матрицы : , что соответствует коэффициентам характеристического полинома . Зададим собственные свойства каналов полиномом , то есть полюса заданы равными -10. Заданием таких полюсов обеспечим время переходного процесса наблюдателя по крайней мере в десять раз меньше по сравнению с переходными процессами в системе.
Динамические свойства наблюдателя описываются уравнением , где - ошибка оценки вектора состояния. Матрицу вычислим из условий, во-первых, устойчивости наблюдателя, достаточно малого времени устранения ошибки наблюдения и, наконец, автономности каналов наблюдателя. Для этого необходимо скомпенсировать элементы матрицы . Таким образом матрицу находим из условия
.
Элементы матрицы обозначим через и вычислим :
,
Матрица Lн имеет вид:
Рис. 3. Модель исследуемой двух массовой системы с наблюдателем(модели представлены в наблюдаемой канонической форме)
Рис. 4. Переходные процессы y1(t) и y1н(t) при U1=U2=1
Рис. 5. Переходные процессы y2(t) и y2н(t) при U1=U2=1
-
Расчёт регулятора
Запишем управляемую каноническую форму:
(2)
В матричном виде уравнения (2) запишутся так:
,
Найдем матрицы , соответствующие управляемой канонической форме:
, ,
При введении матрицы K в обратную связь получим:
, .
Необходимо скомпенсировать элементы матрицы для устранения перекрестных связей. Собственные свойства канала «первый вход – первый выход» определяются коэффициентами второй строки матрицы : {-8 0}, что соответствует коэффициентам характеристического полинома . Собственные свойства канала «второй вход – второй выход» определяются коэффициентами второй строки матрицы : {-2 0}, что соответствует коэффициентам характеристического полинома . Зададим собственные свойства для канала y1 полиномом , что соответствует полюсам -3, -3. Для канала y2 полиномом , что соответствует полюсам -0.5, -0.5.
Таким образом, матрицу находим из условия:
.
Матрица неизвестная – элементы ее обозначим :
.
Вычислим :
Матрица имеет вид:
Матрицы A, B, и C объекта и наблюдателя записаны в наблюдаемой форме, а матрица – в управляемой. Следовательно, необходимо перевести матрицу обратной связи также в наблюдаемую форму. Для этого воспользуемся матрицей перехода Т:
Модель системы с наблюдателем полного порядка и регулятором представлена на рис.6. Результаты моделирования для первого и второго канала при U1=3 и U2=2 представлены на рис 7,8 соответственно.
Рис. 6. Модель системы с наблюдателем полного порядка и регулятором
Рис. 7. Переходные процессы y1(t),u(t),e1(t) в системе с наблюдателем и регулятором
Рис. 8. Переходные процессы y2(t),u(t),e2(t) в системе с наблюдателем и регулятором
tп1– время переходного процесса в первом канале 1.45 с;
– статическая ошибка первого канала = 87%;
tп2– время переходного процесса во втором канале ≈ 9.5 с;
– статическая ошибка второго канала = 300%;
Вывод
В ходе лабораторной работы для двухканального объекта управления был рассчитан наблюдатель полного порядка (процессы в наблюдателе повторяют процессы в объекте). Используя модальный метод в пространстве состояний с использованием пропорциональной матрицы в канале обратной связи был синтезирован регулятор. Рассчитанный регулятор не обеспечил статику и заданную динамику, но стабилизировать систему удалось.