RGZ_3
.docxМинистерство образования и науки РФ
Новосибирский государственный технический университет
Кафедра ТОЭ
Задание №3
Переходные процессы в цепях с сосредоточенными параметрами
Факультет ФТФ
Группа ФЛ-31 Отметка о защите__________
Студент Гущин А.С. Преподаватель Давыденко О.Б.
Дата выполнения_______
Новосибирск 2014
Задание:
Найти переходный ток на входе цепи второго порядка, изображенной на схеме, и построить график его изменения в функции времени. ЭДС источника задана в виде
Примечание:
Принужденную составляющую тока рекомендуется найти методом комплексных амплитуд (т.е. символическим методом), а свободную – операторным.
Если наибольшее значение свободной составляющей окажется несоизмеримо малым по сравнению с амплитудой принужденной составляющей, то допускается раздельное построение этих составляющих на чертеже в разных масштабах (без суммирования).
Исходные данные:
n=1 - порядковый номер в группе;
k=1 - номер группы (без первой цифры);
ENT(x) - целая часть числа x;
- номер схемы;
- номер строки параметров;
Параметры:
-
Расчет принужденной составляющей.
В соответствии с рекомендациями расчет принужденной составляющей входного тока будем осуществлять методом комплексных амплитуд.
Комплексная схема замещения для момента времени будет иметь вид:
Принуждённую составляющую входного тока можно определить следующим образом:
По правилу делителя токов:
Тогда ток найдём по 1-му закону Кирхгофа:
Напряжение на конденсаторe
Мгновенные значения токов:
Мгновенное значение напряжения на конденсаторе:
-
Расчёт режима работы цепи до коммутации.
Комплексная схема замещения для момента времени будет иметь вид:
Напряжение на конденсаторе:
Mгновенные значения:
-
Определение независимых начальных условий.
В соответствии с 1-ым законом коммутации ток через индуктивный элемент L непосредственно до коммутации равен току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации .
Из этого следует:
В соответствии со 2-ым законом коммутации напряжение на конденсаторе C непосредственно до коммутации равно напряжению на этом же конденсаторе непосредственно после коммутации . Из этого следует:
-
Определение свободных составляющих независимых начальных условий.
Напряжение на конденсаторе в любой момент времени переходного процесса представляет собой сумму принужденной и свободной составляющих. В частности в момент времени :
:
Аналогично для тока через индуктивный элемент:
Значение свободной составляющей тока в момент времени равно:
-
Определение свободных составляющих операторным методом.
Для определения свободной составляющей перейдём к операторной схеме замещения. Катушка индуктивности заменяется последовательно соединенными сопротивлением и источником ЭДС, значение которого равно . Конденсатор заменяется последовательно соединёнными сопротивлением и источником ЭДС, значение которого равно . Источник переменного напряжения заменим на его внутреннее сопротивление, т.е. закоротим.
Таким образом, операторная схема замещения имеет вид:
Рассчитаем схему методом узловых потенциалов.
Примем потенциал узла 0 за ноль: . Тогда:
Согласно закону Ома изображение входного тока равно:
Определение оригинала свободной составляющей входного тока
Согласно теореме разложения, если операторную функцию можно представить в виде отношения двух многочленов (причём многочлен имеет больший порядок, чем многочлен ), то изображение для этой функции можно определить следующим образом:
Где - корни уравнения .
В нашем случае:
Так как многочлен второго порядка, то свободная составляющая входного тока будет представлять особую сумму двух затухающих экспонент (при условии действительных разных корней уравнения ).
В результате решения уравнения получаем:
Найдём производную многочлена в знаменателе:
Вычислим:
Тогда оригинал свободной составляющей входного тока имеет вид:
-
Графики переходного тока.
Входной ток можно представить как сумму принуждённой и свободной составляющих:
Построим графики каждой из составляющих и полного тока:
-
Проверка решения.
-
Найдём входное сопротивление операторной схемы замещения. Предварительно заменим источники питания в схеме на их внутреннее сопротивление, которое равно 0. В этом случае выражение для входного сопротивления будет иметь вид:
Решив уравнение , получаем:
Как видно эти значения полностью соответствуют значениям, полученным в пункте 5 для уравнения .
-
Значение входного тока в момент коммутации совпадает со значением полного тока при t=0: